Calculadora de Equação com Valor Absoluto (|ax + b| = c)

Última atualização: 2026-05-19

O que é uma equação com valor absoluto?

Uma equação com valor absoluto na forma $|ax + b| = c$ determina os valores de $x$ para os quais a expressão linear $ax + b$ tem módulo igual a $c$. Conforme o valor de $c$, a equação admite duas soluções reais distintas, uma única solução ou nenhuma solução real.

Mecanismo de resolução

A ideia central é que $|expressão| = c$ significa que a expressão vale $c$ ou $-c$, já que ambos estão à mesma distância do zero. Isso transforma uma equação com valor absoluto em duas equações lineares simples:

$$ax + b = c \quad \text{e} \quad ax + b = -c$$

Isolando $x$ em cada uma (com $a \neq 0$):

$$x_1 = \frac{c - b}{a} \qquad x_2 = \frac{-c - b}{a}$$

Os três casos

Caso 1: c > 0 — duas soluções

Quando $c$ é positivo, as duas equações acima fornecem valores distintos de $x$. Ambos satisfazem a equação original.

Exemplo resolvido: Resolva $|2x - 3| = 7$.

Identifique: $a = 2$, $b = -3$, $c = 7$.

$$x_1 = \frac{7 - (-3)}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-7 - (-3)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Verificação: $|2 \cdot 5 - 3| = |7| = 7$ ✓ e $|2 \cdot (-2) - 3| = |-7| = 7$ ✓

Caso 2: c = 0 — uma solução

Quando $c = 0$, as duas equações se reduzem a uma única: $ax + b = 0$. As duas fórmulas fornecem o mesmo resultado:

$$x_1 = x_2 = \frac{-b}{a}$$

Exemplo: $|2x - 4| = 0 \Rightarrow x = 4/2 = 2$.

Caso 3: c < 0 — nenhuma solução real

O valor absoluto é sempre não negativo: $|ax + b| \geq 0$ para todo $x$ real. Pedir que uma grandeza não negativa seja igual a um número negativo é impossível — a equação não tem solução real.

Exemplo: $|2x - 3| = -5$ não tem solução.

Interpretação geométrica

Na reta numérica, $|u|$ é a distância do ponto $u$ até a origem. Fazendo $u = ax + b$:

$$|ax + b| = c$$

a equação equivale a determinar para quais valores de $x$ a função linear $ax + b$ fica exatamente $c$ unidades afastada do zero. Como a distância é simétrica, existem dois pontos com essa propriedade ($+c$ e $-c$), resultando em no máximo dois valores de $x$.

Essa leitura geométrica também explica o caso $c < 0$: distância nunca é negativa, portanto não há ponto algum na reta que satisfaça a condição.

Caso especial: a = 0

Se $a = 0$, a equação se torna $|b| = c$, que não envolve $x$. A calculadora trata $a = 0$ como entrada inválida e exibe uma mensagem de erro, porque sem o coeficiente de $x$ a expressão deixa de ser uma equação com incógnita — é apenas uma afirmação aritmética.

Perguntas frequentes (FAQ)

Por que uma equação com valor absoluto pode ter duas soluções?

|ax + b| = c significa que a expressão dentro das barras vale c ou −c, pois ambos têm o mesmo valor absoluto. Isso divide a equação em duas equações lineares — ax + b = c e ax + b = −c — cada uma com sua própria solução em x. Quando c > 0, as duas equações dão soluções distintas; quando c = 0, ambas se reduzem à mesma equação, resultando em uma única solução.

O que acontece quando c é negativo?

O valor absoluto é sempre maior ou igual a zero, portanto |ax + b| nunca pode ser igual a um número negativo. Quando c < 0, a equação |ax + b| = c não tem solução real — não existe nenhum valor de x capaz de tornar uma grandeza não negativa igual a algo negativo.

O que |x| representa geometricamente na reta numérica?

Na reta numérica, |x| é a distância de x até a origem. De forma mais geral, |ax + b| representa a distância do ponto ax + b até zero. Resolver |ax + b| = c equivale a perguntar: "para quais valores de x o resultado de ax + b fica exatamente a c unidades de distância do zero?" A resposta são os dois pontos c e −c, fornecendo no máximo dois valores de x.

Qual a diferença entre equação e inequação com valor absoluto?

A equação (|ax + b| = c) determina os valores exatos de x em que a expressão é igual a c — resultando em um conjunto finito de soluções. A inequação (|ax + b| < c ou |ax + b| > c) determina um intervalo: todos os x em que a expressão é menor ou maior que c. Enquanto a equação encontra pontos, a inequação encontra intervalos.