Calculadora de Triângulo Equilátero

Última atualização: 2026-05-18

Triângulo equilátero

O triângulo equilátero é um triângulo com três lados iguais e três ângulos internos de exatamente 60°. Por essa simetria ternária, basta conhecer o comprimento do lado para determinar todas as demais medidas — altura, área, perímetro, circunraio e inraio.

Altura

Trace uma perpendicular de qualquer vértice até o lado oposto. Ela bissecta esse lado, criando dois triângulos 30-60-90 congruentes com hipotenusa $a$ e cateto menor $a/2$. Pelo teorema de Pitágoras:

$h^2 = a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} \implies h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Para $a = 6$: $h = 3\sqrt{3} \approx 5{,}196$

Área

A partir da fórmula $S = \tfrac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}$:

$S = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Para $a = 6$: $S = 9\sqrt{3} \approx 15{,}588$

Circunraio e inraio

Circunraio $R$ (raio da circunferência que passa pelos três vértices):

$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

Inraio $r$ (raio da circunferência inscrita tangente aos três lados):

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{h}{3}$

Uma identidade notável: $R = 2r$. No triângulo equilátero, o circuncentro, o incentro, o baricentro e o ortocentro coincidem em um único ponto de simetria.

A conexão com o triângulo 30-60-90

Todo triângulo equilátero pode ser dividido em seis triângulos 30-60-90 congruentes pelas suas três medianas. A razão de lados $1 : \sqrt{3} : 2$ explica por que $\sqrt{3}$ aparece em todas as fórmulas do triângulo equilátero.

Justificativa de R = 2r

O baricentro coincide com o circuncentro e o incentro. Cada mediana tem comprimento $h = a\sqrt{3}/2$, e o baricentro a divide na razão $2:1$ a partir do vértice:

• Distância baricentro–vértice: $\tfrac{2}{3} h = \tfrac{a\sqrt{3}}{3} = R$ ✓
• Distância baricentro–ponto médio do lado: $\tfrac{1}{3} h = \tfrac{a\sqrt{3}}{6} = r$ ✓
• Portanto $R = 2r$ ✓