Calculadora de números de Fibonacci

Última atualização: 2026-05-19

O que esta calculadora calcula

A sequência de Fibonacci é uma série de números inteiros em que cada termo é a soma dos dois anteriores. Esta calculadora determina F(n) — o n-ésimo termo — para qualquer índice de 0 a 70, exibindo também F(n−1), a razão F(n)/F(n−1) (que converge para a proporção áurea) e a sequência completa de F(0) a F(n).

A sequência de Fibonacci

A sequência começa com 0 e 1; cada termo seguinte é a soma dos dois anteriores:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Formalmente: F(0) = 0, F(1) = 1 e F(n) = F(n−1) + F(n−2) para n ≥ 2.

O nome vem do matemático italiano Leonardo de Pisa (c. 1170–1250), conhecido como Fibonacci, que a utilizou em 1202 no Liber Abaci para modelar o crescimento de uma população de coelhos. No entanto, matemáticos indianos já haviam descrito a mesma sequência séculos antes no contexto da métrica sânscrita.

Método de cálculo

A calculadora usa um laço iterativo, não a definição recursiva. Partindo de F(0) = 0 e F(1) = 1, cada passo soma os dois termos anteriores; após n − 1 somas, F(n) é obtido. O tempo de execução é O(n), evitando a explosão exponencial da recursão ingênua.

O índice máximo suportado é n = 70, pois F(70) = 190.392.490.709.135 é o maior número de Fibonacci que cabe exatamente em um número de ponto flutuante de 64 bits (IEEE 754). Para n ≥ 71, os valores ultrapassam o limite de inteiro seguro 2⁵³, e o arredondamento corromperia o resultado.

Exemplo resolvido

Entrada: n = 12

n	F(n)
0	0
1	1
2	1
3	2
4	3
5	5
6	8
7	13
8	21
9	34
10	55
11	89
12	144

Resultado: F(12) = 144, F(11) = 89, razão = 144/89 ≈ 1,61797753.

Vale notar que 144 = 12² é um quadrado perfeito. Junto com 0 e 1, é o único número de Fibonacci que também é quadrado perfeito (teorema de Ljunggren).

A conexão com a proporção áurea

Conforme n aumenta, a razão F(n) / F(n−1) converge para a proporção áurea:

$\varphi = (1 + \sqrt{5}) / 2 \approx 1{,}6180339887\ldots$

n	F(n)	F(n)/F(n−1)
5	5	1,66667
10	55	1,61765
20	6.765	1,61803
30	832.040	1,61803399

Com n = 20 a razão já coincide com φ em seis casas decimais. A proporção áurea aparece na geometria (razão diagonal/lado no pentágono regular), em padrões arquitetônicos e nas espirais de sementes de girassol e pinhas.

A fórmula de Binet

A fórmula de Binet expressa F(n) diretamente, sem iteração:

$F(n) = (\varphi^n - \psi^n) / \sqrt{5}$

onde $\varphi = (1 + \sqrt{5})/2 \approx 1{,}61803$ é a proporção áurea e $\psi = (1 - \sqrt{5})/2 \approx -0{,}61803$ é o seu conjugado.

Como |ψ| < 1, o termo ψⁿ tende a zero quando n cresce. Para n ≥ 1, F(n) é simplesmente o inteiro mais próximo de $\varphi^n / \sqrt{5}$. Elegante, mas dependente de aritmética de ponto flutuante — o método iterativo desta calculadora garante resultados inteiros exatos.

A sequência de Fibonacci na natureza e na ciência

A sequência aparece em domínios variados:

• Botânica: Muitas flores têm pétalas em número de Fibonacci — geralmente 3, 5, 8 ou 13. Girassóis têm tipicamente 34 e 55 fileiras de espirais em sentidos opostos.
• Filotaxia: Folhas e galhos crescem em ângulos relacionados a φ, maximizando a captação de luz solar.
• Ciência da computação: Os heaps de Fibonacci, estrutura de dados usada em algoritmos de grafos, devem seu nome à sequência. A implementação recursiva ingênua de F(n) é o exemplo clássico de complexidade exponencial no ensino de algoritmos.
• Análise técnica: Os níveis de retração de Fibonacci (23,6%, 38,2%, 61,8%) — derivados de razões entre termos consecutivos — são amplamente usados no mercado de ações e câmbio, embora seu valor preditivo seja debatido.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que é a sequência de Fibonacci?

A sequência de Fibonacci é uma série de números em que cada termo é a soma dos dois anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Formalmente, F(0) = 0, F(1) = 1 e F(n) = F(n−1) + F(n−2) para n ≥ 2.

O nome vem do matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci, c. 1170–1250), que a usou em 1202 no Liber Abaci para modelar o crescimento de uma população de coelhos — mas matemáticos indianos já haviam descrito a mesma sequência séculos antes no contexto da métrica sânscrita.

Qual a relação entre a sequência de Fibonacci e a proporção áurea?

À medida que n cresce, a razão entre termos consecutivos F(n) / F(n−1) converge para a proporção áurea φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887. Com n = 10 a razão já é 1,61765; com n = 20 ela coincide com φ em seis casas decimais. Essa conexão aparece na geometria (razão entre diagonal e lado do pentágono regular), na arte e na natureza — por exemplo nos padrões em espiral das sementes de girassol.

O que é a fórmula de Binet?

A fórmula de Binet calcula F(n) diretamente, sem iteração: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, em que φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,61803 é a proporção áurea e ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,61803 é o seu conjugado. Como |ψ| < 1, o termo ψⁿ tende a zero, de modo que F(n) é simplesmente o inteiro mais próximo de φⁿ / √5. Elegante, mas baseada em aritmética de ponto flutuante, perde precisão para n grande — por isso esta calculadora usa o método iterativo.

Até qual valor de n a calculadora suporta?

A calculadora suporta n de 0 a 70. F(70) = 190.392.490.709.135 é o maior número de Fibonacci que cabe exatamente em um double de 64 bits (IEEE 754). A partir de F(71), os valores superam o limite de inteiro seguro 2⁵³ = 9.007.199.254.740.992, e o arredondamento comprometeria o resultado.