Calculadora de Distribuição Normal

Última atualização: 2026-05-18

Calculadora de distribuição normal

Esta calculadora determina o escore Z, a probabilidade acumulada P(X < x), a probabilidade complementar P(X > x), o percentil e a densidade de probabilidade f(x) para qualquer distribuição normal. Insira o valor observado, a média e o desvio padrão. Nenhuma tabela Z é necessária.

Distribuição normal

A distribuição normal é uma distribuição de probabilidade contínua, simétrica em torno de sua média. Ela descreve inúmeros fenômenos naturais e sociais: alturas, notas de concursos, erros de medição, resultados do ENEM e retornos financeiros tendem a se aproximar de uma curva em sino quando o número de observações é suficientemente grande.

Sua forma é completamente determinada por dois parâmetros:

• μ (média) — o centro da distribuição
• σ (desvio padrão) — o quanto os valores se dispersam em torno da média

A função de densidade de probabilidade é:

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

O escore Z

O escore Z converte qualquer valor em unidades de desvios padrão em relação à média:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Escore Z	Interpretação
z = 0	O valor é igual à média
z = 1	Um desvio padrão acima da média
z = −2	Dois desvios padrão abaixo da média
z > 3	Extremo — ocorre em menos de 0,3% dos casos

O escore Z é amplamente usado para comparar valores de distribuições com escalas diferentes. Por exemplo, ele permite comparar uma nota de 0 a 10 com uma pontuação de concurso público ou um resultado de exame vestibular em escalas distintas.

Probabilidade acumulada: P(X < x)

P(X < x) é a área sob a curva em sino à esquerda de x. Representa a probabilidade de que um valor retirado aleatoriamente desta distribuição seja menor que x.

$$P(X < x) = \Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$

Aqui Φ(z) é a função de distribuição acumulada (FDA) da distribuição normal padrão N(0, 1), e erf é a função erro — uma função especial definida como $\text{erf}(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^t e^{-s^2}\,ds$.

Esta calculadora usa a aproximação racional de Abramowitz & Stegun §7.1.26 (erro máximo < 1,5 × 10⁻⁷), com precisão de 6 algarismos significativos.

A regra 68–95–99,7

Para qualquer distribuição normal, três intervalos definem o alcance prático:

Intervalo	Probabilidade
μ ± 1σ	~68,3%
μ ± 2σ	~95,4%
μ ± 3σ	~99,7%

Isso significa que apenas cerca de 1 em 370 valores cai a mais de 3 desvios padrão da média. Em controle de qualidade industrial, a metodologia Seis Sigma e os processos de CEP (Controle Estatístico de Processo) utilizam esse limiar para definir a faixa de produção sem defeitos.

Exemplo prático

As notas de uma turma em uma prova têm média μ = 72 e desvio padrão σ = 8. Um aluno tirou x = 85.

$$z = \frac{85 - 72}{8} = 1{,}625$$ $$P(X < 85) = \Phi(1{,}625) \approx 0{,}9479$$

Esse aluno está aproximadamente no 95º percentil — superou cerca de 94,8% da turma. Os 5,2% restantes obtiveram nota superior.

Densidade de probabilidade f(x) vs. probabilidade acumulada P(X < x)

Grandeza	Símbolo	Significado
Densidade de probabilidade	f(x)	Altura da curva em x — não é uma probabilidade em si
Probabilidade acumulada	P(X < x)	Área sob a curva à esquerda de x — uma probabilidade real

f(x) pode ser maior que 1 para distribuições estreitas (σ pequeno), pois é uma densidade, não uma probabilidade. Em uma distribuição contínua, a probabilidade de um valor exato qualquer é sempre zero; apenas intervalos têm probabilidade positiva.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que é escore Z e como é calculado?

O escore Z indica quantos desvios padrão um valor está afastado da média: z = (x − μ) / σ. Escore Z igual a 0 significa que o valor coincide com a média. Z = 1 equivale a um desvio padrão acima da média; Z = −2 equivale a dois desvios padrão abaixo. O escore Z permite comparar valores de distribuições com médias e dispersões diferentes em uma escala comum.

O que significa P(X < x) em uma distribuição normal?

P(X < x) é a probabilidade acumulada — a probabilidade de que um valor retirado aleatoriamente desta distribuição seja menor que x. Ela corresponde à área sob a curva em sino à esquerda de x. Por exemplo, P(X < 75) = 0,69 significa que aproximadamente 69% dos valores desta distribuição são menores que 75. P(X > x) = 1 − P(X < x) cobre a área à direita.

O que é a regra 68-95-99,7 da distribuição normal?

Em qualquer distribuição normal, cerca de 68% dos valores estão dentro de 1 desvio padrão da média (Z entre −1 e +1), aproximadamente 95% dentro de 2 desvios padrão, e 99,7% dentro de 3 desvios padrão. Por isso, valores com |Z| > 3 são considerados outliers estatísticos — eles ocorrem em menos de 0,3% dos casos em uma distribuição normal.

Como encontrar o percentil a partir do escore Z?

O percentil equivale a P(X < x) × 100. Um escore Z de 0 corresponde ao 50º percentil (exatamente metade da distribuição está abaixo da média). Z = 1,28 corresponde aproximadamente ao 90º percentil; Z = 1,645 ao 95º; Z = 2,326 ao 99º. Esta calculadora calcula o percentil diretamente — nenhuma tabela Z é necessária.