Resolver sistema de equações 2×2 — Regra de Cramer

Última atualização: 2026-05-19

Sistema de equações lineares 2×2

Um sistema de equações lineares com duas incógnitas tem a forma:

$$a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2$$

A regra de Cramer resolve esse sistema a partir dos determinantes da matriz dos coeficientes. Inserindo os seis coeficientes (a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂), a calculadora obtém os valores de x e y, ou classifica o sistema como impossível (sem solução) ou indeterminado (infinitas soluções), exibindo todos os passos intermediários.

A regra de Cramer

O primeiro passo é calcular o determinante da matriz dos coeficientes:

$D = a_1 b_2 - a_2 b_1$

Quando D ≠ 0, a solução única do sistema é:

$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$

Cada numerador é o determinante da matriz obtida substituindo uma coluna de coeficientes pelo vetor dos termos independentes. Matematicamente, isso corresponde a desenvolver componente a componente a fórmula $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$.

Interpretação geométrica

Cada equação $ax + by = c$ representa uma reta no plano xy. Resolver o sistema equivale a encontrar o ponto de interseção dessas retas.

• D ≠ 0 — SPD (sistema possível e determinado): as retas se cruzam em um único ponto. A matriz dos coeficientes é invertível.
• D = 0 e numeradores nulos — SPI (sistema possível e indeterminado): as retas são coincidentes — uma equação é múltiplo da outra. Todo ponto da reta é solução.
• D = 0 e algum numerador não nulo — SI (sistema impossível): as retas são paralelas e não se intersectam. Nenhum par (x, y) satisfaz as duas equações ao mesmo tempo.

Exemplo resolvido

O sistema configurado por padrão serve de referência:

$2x + 3y = 8 \quad \text{e} \quad x - y = 1$

Passo 1 — Calcular o determinante:

$D = (2)(-1) - (1)(3) = -2 - 3 = -5$

Como D ≠ 0, o sistema tem solução única (SPD).

Passo 2 — Calcular x:

$x = \frac{(8)(-1) - (1)(3)}{-5} = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5} = 2{,}2$

Passo 3 — Calcular y:

$y = \frac{(2)(1) - (1)(8)}{-5} = \frac{-6}{-5} = \frac{6}{5} = 1{,}2$

Verificação:

$2 \times 2{,}2 + 3 \times 1{,}2 = 4{,}4 + 3{,}6 = 8 \checkmark \quad \text{e} \quad 2{,}2 - 1{,}2 = 1 \checkmark$

Quando o determinante é zero

Se D = 0, as duas linhas da matriz dos coeficientes são proporcionais: $[a_1, b_1] = k\,[a_2, b_2]$. A classificação depende dos termos independentes:

• Se $c_1 = k\,c_2$, os dois numeradores de Cramer são zero → SPI (infinitas soluções).
• Se $c_1 \neq k\,c_2$, ao menos um numerador é não nulo → SI (sem solução).

Na prática, basta calcular os numeradores $c_1 b_2 - c_2 b_1$ e $a_1 c_2 - a_2 c_1$: ambos nulos com D = 0 indica SPI; caso contrário, SI.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que o determinante diz sobre o sistema de equações?

O determinante D = a₁b₂ − a₂b₁ indica se a matriz dos coeficientes é inversível. Se D ≠ 0, as duas retas se cruzam em um único ponto e o sistema é possível e determinado (SPD). Se D = 0, as retas são paralelas ou coincidentes: o sistema é impossível (SI) ou possível e indeterminado (SPI).

Quando um sistema linear tem infinitas soluções?

Quando as duas equações representam a mesma reta, ou seja, uma é múltiplo escalar da outra. Nesse caso o determinante e ambos os numeradores de Cramer são zero. Todo ponto da reta satisfaz simultaneamente as duas equações.

Regra de Cramer ou substituição: qual método escolher?

A substituição é prática para sistemas pequenos resolvidos à mão. A regra de Cramer fornece uma fórmula fechada direta, sendo vantajosa quando a matriz de coeficientes é fixa e apenas o vetor de termos independentes varia, ou quando se deseja a solução em forma simbólica.

Por que determinante zero nem sempre significa sistema impossível?

D = 0 indica apenas que a matriz é singular — as linhas são linearmente dependentes. Se o vetor de termos independentes seguir a mesma proporção (sistema consistente), há infinitas soluções. Somente quando pelo menos um numerador de Cramer for diferente de zero o sistema é de fato impossível.