Calculadora de triângulos (ALA) — Um lado e dois ângulos

Última atualização: 2026-05-18

Resolver um triângulo com um lado e dois ângulos (ALA)

O caso ALA (Ângulo-Lado-Ângulo) ocorre quando se conhece um lado e os dois ângulos em suas extremidades. Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°, o terceiro ângulo é obtido por simples subtração. A partir daí, a lei dos senos fornece os lados restantes, e sua forma estendida dá diretamente o circunraio.

Passo 1: Encontrar o terceiro ângulo

$C = 180° - A - B$

Esta operação é puramente aritmética — nenhuma trigonometria é necessária. Conhecidos dois ângulos, a forma do triângulo fica completamente determinada; o comprimento do lado define a escala.

Passo 2: Calcular os lados desconhecidos com a lei dos senos

$\frac{a}{\operatorname{sen} A} = \frac{b}{\operatorname{sen} B} = \frac{c}{\operatorname{sen} C}$

Com o lado conhecido $c$ e o ângulo derivado $C$:

$a = \frac{c \operatorname{sen} A}{\operatorname{sen} C}, \qquad b = \frac{c \operatorname{sen} B}{\operatorname{sen} C}$

Exemplo — $c = 8$, $A = 50°$, $B = 60°$:

$C = 180° - 50° - 60° = 70°$

$a = \frac{8 \operatorname{sen} 50°}{\operatorname{sen} 70°} \approx \frac{8 \times 0{,}766}{0{,}940} \approx 6{,}527$

$b = \frac{8 \operatorname{sen} 60°}{\operatorname{sen} 70°} \approx \frac{8 \times 0{,}866}{0{,}940} \approx 7{,}378$

Cálculo da área

A área pode ser calculada diretamente a partir dos dados ALA, sem precisar encontrar os lados primeiro:

$S = \frac{c^2 \operatorname{sen} A \operatorname{sen} B}{2 \operatorname{sen} C}$

Esta fórmula evita os erros de arredondamento dos cálculos intermediários.

Circunraio pela lei dos senos estendida

A razão comum na lei dos senos é igual ao diâmetro do círculo circunscrito:

$\frac{c}{\operatorname{sen} C} = 2R \implies R = \frac{c}{2\operatorname{sen} C}$

Para o exemplo acima: $R = 8 \div (2\operatorname{sen} 70°) \approx 4{,}257$.

Em um triângulo retângulo ($C = 90°$, $\operatorname{sen} 90° = 1$): $R = c/2$ — o circunraio é a metade da hipotenusa, resultado clássico da lei dos senos.

Inraio

$r = \frac{S}{s}, \quad s = \frac{a + b + c}{2}$

ALA versus AAL

Ambas as configurações determinam o triângulo de forma única:

• ALA: o lado conhecido está entre os dois ângulos.
• AAL: o lado conhecido não está entre os dois ângulos.

Numericamente, os dois casos se resolvem de forma idêntica: calcula-se $C$, depois aplica-se a lei dos senos. A distinção importa nas demonstrações de congruência geométrica, mas não afeta o cálculo numérico.

Quando não usar a lei dos senos

Ao aplicá-la ao caso LAA (dois lados e um ângulo não incluído), podem existir dois triângulos distintos que satisfazem as mesmas medidas — o chamado caso ambíguo. Esta calculadora trabalha exclusivamente com a condição ALA, onde o lado conhecido está entre os dois ângulos, eliminando qualquer ambiguidade.

Perguntas frequentes (FAQ)

Como resolver um triângulo conhecendo um lado e os dois ângulos adjacentes?

Primeiro, encontra-se o terceiro ângulo: C = 180° − A − B. Em seguida, aplica-se a lei dos senos (a ÷ sen A = c ÷ sen C) para calcular os lados desconhecidos: a = c × sen A ÷ sen C e b = c × sen B ÷ sen C. Por exemplo, com c = 8, A = 50°, B = 60°: C = 70°, a = 8 × sen 50° ÷ sen 70° ≈ 6,527 e b = 8 × sen 60° ÷ sen 70° ≈ 7,378.

O que é a lei dos senos?

A lei dos senos afirma que, em qualquer triângulo: a ÷ sen A = b ÷ sen B = c ÷ sen C = 2R, onde R é o circunraio. Essa razão comum é igual ao diâmetro do círculo circunscrito. Usa-se a lei dos senos quando se conhece um ângulo e o lado oposto (ALA ou AAL); para dois lados e um ângulo incluído (LAL ou LLL), aplica-se a lei dos cossenos.

Qual é a relação entre o circunraio e a lei dos senos?

A forma estendida da lei dos senos fornece diretamente R = c ÷ (2 sen C). O circunraio é igual a qualquer lado dividido pelo dobro do seno do ângulo oposto. Em um triângulo retângulo (C = 90°), sen 90° = 1, logo R = c ÷ 2: o circunraio é metade da hipotenusa. No caso ALA, calcula-se R a partir do lado conhecido c e do ângulo derivado C.

Qual é a diferença entre ALA e AAL?

ALA (Ângulo-Lado-Ângulo) significa que o lado conhecido está entre os dois ângulos conhecidos. AAL (Ângulo-Ângulo-Lado) significa que o lado conhecido não está entre os dois ângulos. As duas configurações determinam o triângulo de forma única, e o cálculo é idêntico após se obter o terceiro ângulo como 180° − A − B. A distinção é relevante nas demonstrações de congruência geométrica, mas não afeta o cálculo numérico.