Calculadora de triângulos (LAL) — Dois lados e ângulo compreendido

Última atualização: 2026-05-18

Resolver um triângulo a partir de dois lados e o ângulo compreendido (LAL)

O caso LAL (Lado-Ângulo-Lado) ocorre quando dois lados e o ângulo entre eles são conhecidos. O teorema dos cossenos permite calcular o terceiro lado e, em seguida, os ângulos restantes, a área, o circunraio e o inraio.

Encontrar o terceiro lado

Com os lados $a$ e $b$ e o ângulo compreendido $C$ conhecidos, o lado $c$ (oposto a $C$) é dado por:

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$

Exemplo — $a = 5$, $b = 7$, $C = 60°$:

$c = \sqrt{25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60°} = \sqrt{74 - 35} = \sqrt{39} \approx 6{,}245$

Para $C = 90°$, $\cos 90° = 0$ e a fórmula se reduz ao teorema de Pitágoras.

Área a partir do LAL

A área pode ser calculada diretamente a partir dos dois lados e do ângulo, sem precisar encontrar $c$ primeiro:

$S = \frac{1}{2}\,ab\sin C$

No exemplo acima: $S = \tfrac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \tfrac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15{,}155$.

Obtendo os ângulos restantes

Com $c$ calculado, aplica-se o teorema dos cossenos novamente para encontrar o ângulo $A$:

$A = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

Depois $B = 180° - A - C$.

A lei dos senos ($A = \arcsin(a\sin C \div c)$) também funciona, mas a forma com cosseno é mais segura porque o arcosseno é ambíguo para ângulos obtusos.

Circunraio e inraio

Com os três lados e a área conhecidos:

$R = \frac{abc}{4S}, \qquad r = \frac{S}{s} \quad\text{onde } s = \frac{a+b+c}{2}$

Para o triângulo retângulo 3-4-5 ($a=3$, $b=4$, $C=90°$): $c=5$, $S=6$, $R=2{,}5$, $r=1$.

Comparação: LAL e LLL

Dados	Buscar	Método
LLL (3 lados)	Todos os ângulos	Teorema dos cossenos (3×) + fórmula de Herão
LAL (2 lados + ângulo compreendido)	3º lado, depois ângulos	Teorema dos cossenos → LLL

Use LAL quando o ângulo é medido diretamente com transferidor ou teodolito. Após calcular o terceiro lado, o problema vira um LLL.

O caso ambíguo (LLA) — não confundir com LAL

No LAL, o ângulo precisa estar entre os dois lados conhecidos. Se não estiver, temos o caso LLA (ambíguo), que pode ter zero, uma ou duas soluções. Esta calculadora resolve apenas o caso LAL, que é sempre unívoco.

Perguntas frequentes (FAQ)

Como calcular o terceiro lado de um triângulo conhecendo dois lados e o ângulo entre eles?

Aplica-se o teorema dos cossenos: c² = a² + b² − 2ab cos C. Exemplo: a = 5, b = 7, C = 60°: c² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × cos 60° = 74 − 35 = 39, portanto c = √39 ≈ 6,245. Quando C = 90°, cos 90° = 0 e a fórmula se reduz ao teorema de Pitágoras.

O que é o critério LAL em trigonometria?

LAL (Lado-Ângulo-Lado) significa que dois lados e o ângulo compreendido entre eles são conhecidos. É um dos critérios de congruência triangular: dois triângulos são congruentes se compartilham a mesma configuração LAL. Se o ângulo não estiver entre os dois lados, temos o caso ambíguo LLA, que pode ter 0, 1 ou 2 soluções.

Como encontrar todos os ângulos após resolver o caso LAL?

Com o terceiro lado c calculado, aplica-se novamente o teorema dos cossenos: A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2bc)), depois B = 180° − A − C. Também é possível usar a lei dos senos: A = arcsin(a sin C ÷ c), mas a forma com cosseno é mais segura porque evita a ambiguidade do arcosseno para ângulos obtusos.

Quando usar LAL e quando usar LLL?

Use LLL quando os três lados são conhecidos. Use LAL quando dois lados e o ângulo compreendido são conhecidos; calcule primeiro o terceiro lado pelo teorema dos cossenos e depois resolva como em LLL. Na prática, LAL é comum quando o ângulo é medido diretamente com transferidor ou teodolito, enquanto LLL aparece quando os três lados são medidos fisicamente.