Calculadora de Triângulo (LLL) — Três Lados

Última atualização: 2026-05-18

Resolver um triângulo a partir de três lados (LLL)

O caso LLL (lado-lado-lado) determina completamente um triângulo: dados os três lados $a$, $b$ e $c$, a lei dos cossenos fornece todos os ângulos internos, enquanto a fórmula de Herão e as relações clássicas entre área e semiperímetro fornecem a área e os raios dos círculos circunscrito e inscrito.

A lei dos cossenos

Para um triângulo com lados $a$, $b$, $c$ e ângulos opostos $A$, $B$, $C$:

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Portanto $A = \arccos\!\left(\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$. Repete-se para $B$ e calcula-se $C = 180° - A - B$.

Exemplo — o triângulo 3-4-5:

$A = \arccos\!\left(\frac{16 + 25 - 9}{40}\right) = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}87°$

$B \approx 53{,}13°, \quad C = 90°$

Desigualdade triangular

Nem toda combinação de três comprimentos forma um triângulo. É necessário que:

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

Por exemplo, 1, 2 e 10 não formam triângulo pois $1 + 2 = 3 < 10$.

Área pela fórmula de Herão

Uma vez validados os lados, a área é calculada sem precisar dos ângulos. Primeiro o semiperímetro:

$s = \frac{a + b + c}{2}$

Depois a fórmula de Herão:

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Para o 3-4-5: $s = 6$, $S = \sqrt{36} = 6$.

Raios do circunscrito e do inscrito

Raio circunscrito $R$ (círculo pelos três vértices):

$R = \frac{abc}{4S}$

Raio inscrito $r$ (círculo tangente aos três lados):

$r = \frac{S}{s}$

Para o 3-4-5: $R = 60/24 = 2{,}5$ e $r = 1$.

Em qualquer triângulo retângulo, $R = c/2$ (metade da hipotenusa) — uma conferência rápida.

Conexão com o teorema de Pitágoras

Para $C = 90°$, $\cos 90° = 0$ e a lei dos cossenos se reduz a $c^2 = a^2 + b^2$: o teorema de Pitágoras é um caso especial.

Ternas pitagóricas comuns

a	b	c	Área
3	4	5	6
5	12	13	30
8	15	17	60
7	24	25	84

Qualquer múltiplo inteiro de uma terna também é uma terna pitagórica.

Perguntas frequentes (FAQ)

Como calcular os ângulos de um triângulo conhecendo os três lados?

Usa-se a lei dos cossenos: cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc), logo A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2bc)). Repete-se para B e obtém-se C = 180° − A − B. Exemplo com lados 3, 4 e 5: A ≈ 36,87°, B ≈ 53,13°, C = 90°.

O que é a lei dos cossenos e quando aplicá-la?

A lei dos cossenos generaliza o teorema de Pitágoras para qualquer triângulo: c² = a² + b² − 2ab cos C. Usa-se no caso LLL (três lados) para encontrar os ângulos e no caso LAL (dois lados e ângulo entre eles) para encontrar o terceiro lado. Quando C = 90°, a fórmula se reduz ao teorema de Pitágoras.

Como calcular os raios do circunscrito e do inscrito a partir dos três lados?

O raio circunscrito R (círculo que passa pelos três vértices): R = abc ÷ (4S). O raio inscrito r (círculo tangente aos três lados): r = S ÷ s, com s = (a + b + c) ÷ 2. Para o triângulo 3-4-5: S = 6, portanto R = 60 ÷ 24 = 2,5 e r = 6 ÷ 6 = 1.

Qualquer três comprimentos formam um triângulo?

Não. A desigualdade triangular exige que cada lado seja menor que a soma dos outros dois: a + b > c, b + c > a e a + c > b. Por exemplo, 1, 2 e 10 não formam triângulo pois 1 + 2 = 3 < 10. Quando há igualdade (ex.: 1, 2 e 3), o triângulo é degenerado, com área zero.

Qual a diferença entre o método LLL e a fórmula de Herão?

A fórmula de Herão fornece apenas a área a partir dos três lados. O método LLL (lei dos cossenos) também determina todos os ângulos e os raios dos círculos circunscrito e inscrito. Na prática, combinam-se os dois: primeiro a área por Herão, depois R = abc ÷ (4S) e r = S ÷ s.