آخر تحديث: 2026-06-05

الحساب بالمودولو

الحساب بالمودولو فرع من نظرية الأعداد يتعامل مع الأعداد الصحيحة وفق دورات متكررة، على غرار ما يفعله وجه الساعة مع الساعات: بعد الرقم 12 يعود العدّ إلى 1 من جديد. يكتب الرياضيون $a \equiv r \pmod{n}$ ليعنوا أن $a$ و$r$ يُعطيان الباقيَ ذاته عند القسمة على $n$.

التعريف الرسمي وعلاقة القسمة

لعدد صحيح $a$ وعدد صحيح موجب $n$، يوجد عدد صحيح وحيد $r$ يحقق:

حيث $q$ هو خارج القسمة الصحيحة (أكبر عدد صحيح يحقق $q \times n \leq a$)، و$r$ هو الباقي المودولار.

مثال: $17 \div 5$: نجد $q = 3$ لأن $3 \times 5 = 15 \leq 17$، ومن ثَمَّ $r = 17 - 15 = 2$. إذن $17 \bmod 5 = 2$.

الأعداد السالبة

يختلف التعريف الرياضي عن باقي القسمة المستخدم في بعض لغات البرمجة عند التعامل مع الأعداد السالبة. الباقي المودولار دائماً غير سالب:

بينما تُعيد بعض اللغات البرمجية مثل C وJavaScript القيمة −2 عند حساب −7 % 5. التعريف الرياضي هو المعتمد في هذه الحاسبة.

الأس بالمودولو

الأس بالمودولو يحسب $a^b \bmod n$، وهو عملية محورية في التشفير. الحساب المباشر لـ$a^b$ يُنتج أرقاماً ضخمة جداً حتى لقيم صغيرة من $b$، لذا تُستخدم خوارزمية الأس بالتربيع المتكرر:

تُفكَّك القيمة $b$ إلى صورتها الثنائية، وفي كل خطوة تُربَّع القيمة الجارية وتُختزل بالمودولو $n$ قبل الانتقال للخطوة التالية. تعقيد الخوارزمية $O(\log b)$، مما يجعل حساب $17^{1000} \bmod 5$ ممكناً في خطوات معدودة.

مثال محلول: $2^{10} \bmod 7$

المعكوس الضربي بالمودولو

المعكوس الضربي لـ$a$ بالمودولو $n$، يُرمز له بـ$a^{-1} \bmod n$، هو العدد الصحيح $x$ الذي يحقق:

شرط الوجود

يوجد هذا المعكوس إذا وفقط إذا كان $\gcd(a, n) = 1$، أي أن $a$ و$n$ أوليَّان فيما بينهما.

• إذا كان $n$ عدداً أولياً، فلكل عدد من 1 إلى $n - 1$ معكوسٌ بالمودولو.
• إذا كان $\gcd(a, n) > 1$، لا يوجد معكوس، وتعرض الحاسبة تحذيراً بذلك.

مثال: $3^{-1} \bmod 7$: نبحث عن $x$ يحقق $3x \equiv 1 \pmod 7$.

إذن $3^{-1} \bmod 7 = 5$.

تطبيقات الحساب بالمودولو

يدخل الحساب بالمودولو في تطبيقات متعددة:

• التشفير بالمفتاح العام: يعتمد تشفير RSA على الأس بالمودولو والمعكوسات الضربية. أمان هذا التشفير مبني على صعوبة تحليل الأعداد الكبيرة إلى عواملها الأولية.
• الأرقام الضابطة: تعتمد معايير ISBN وIBAN على خوارزميات مودولار للكشف عن أخطاء الإدخال.
• حسابات التقويم: دورة أيام الأسبوع تعمل بمودولو 7؛ لحساب يوم الأسبوع المقابل لتاريخ بعيد تُستخدم صيغ مودولار.
• هياكل البيانات الحلقية: فهرسة المخازن الحلقية (ring buffers) وجداول التشتيت (hash tables) تستخدم $i \bmod \text{size}$ لضمان بقاء الفهرس ضمن النطاق الصحيح.