آخر تحديث: 2026-06-05

الجذر من الدرجة n لعدد ما x، ويُرمز إليه بـ ⁿ√x، هو العدد r الذي يحقق rⁿ = x. عند n = 2 يكون الجذر التربيعي المعهود، وعند n = 3 يكون الجذر التكعيبي. تحسب هذه الحاسبة الجذر الأصلي الحقيقي من الدرجة n، وعند n زوجي مع x موجب تعرض الجذر الحقيقي السالب أيضاً.

التعريف واصطلاح الجذر الأصلي

لعدد x موجب وعدد صحيح n ≥ 2، تملك المعادلة rⁿ = x حلَّين حقيقيين عند n زوجي (أحدهما موجب والآخر سالب)، وحلاً واحداً عند n فردي. يُعرَّف الجذر الأصلي من الدرجة n بأنه الجذر الحقيقي الوحيد الذي يستوفي الشرطين:

• ⁿ√x ≥ 0 حين x ≥ 0 (نتيجة موجبة أو صفرية)
• ⁿ√x < 0 حين x < 0 و n فردي (الجذر يتبع إشارة x)

يجعل هذا الاصطلاح ⁿ√x دالةً رياضية حقيقية بمعنى الكلمة: لكل مدخل مخرج واحد لا غير، بدلاً من أن تكون علاقةً متعددة القيم. الرمز الجذري ⁿ√ يدل دائماً على الجذر الأصلي.

الصيغة الرياضية

يُحسب الجذر الأصلي من الدرجة n وفق الصيغة:

حيث sign(x) تساوي +1 للأعداد الموجبة، و 0 للصفر، و −1 للأعداد السالبة. عند x موجب تختزل الصيغة إلى x^(1/n). أما عند x سالب مع n فردي، فتُنتج الصيغة نتيجة سالبة بصورة طبيعية؛ فمثلاً: ∛(−8) = −2.

الجذر من الدرجة n والأس الكسري

الجذر من الدرجة n ورفع x للأس 1/n عمليتان متكافئتان تماماً:

يترتب على ذلك من قاعدة الأسس: (x^(1/n))^n = x^(n/n) = x. وبصورة أعم:

فيجمع الأس الكسري m/n بين رفع للقوة m واستخراج الجذر من الدرجة n في تعبير واحد.

جذور المؤشرات الزوجية للأعداد السالبة

حين يكون n زوجياً، تكون rⁿ غير سالبة لأي عدد حقيقي r، لأن قوة زوجية للعدد السالب تنتج دائماً قيمة موجبة. ومن ثَمَّ لا تملك المعادلة rⁿ = x حلاً حقيقياً حين x < 0. في هذه الحالة تنتمي النتيجة إلى مجال الأعداد المركبة — وهي مضاعفات الوحدة التخيلية i — وتقع خارج خط الأعداد الحقيقية.

فمثلاً: √(−9) = 3i، وليست −3؛ إذ (−3)² = 9 لا −9، فهي ليست جذراً تربيعياً للعدد −9.

مثال محلول

المطلوب: إيجاد الجذر الأصلي من الدرجة 4 للعدد 81، وتحديد جذريه الحقيقيين.

1. تطبيق الصيغة: ⁴√81 = 81^(1/4).
2. الحساب: 3⁴ = 81، إذن 81^(1/4) = 3.
3. بما أن n = 4 زوجي وx = 81 > 0، يوجد جذر حقيقي ثانٍ هو: −3.
4. التحقق: (−3)⁴ = 81. ✓

كلٌّ من 3 و −3 جذران حقيقيان من الدرجة 4 للعدد 81؛ الجذر الأصلي هو 3.

عدد الجذور الحقيقية

يعتمد عدد الجذور الحقيقية من الدرجة n لعدد x على طبيعة كلٍّ من n وx:

في مجال الأعداد المركبة، لكل عدد غير صفري تحديداً n جذراً متمايزاً من الدرجة n، موزعة بالتساوي على دائرة في المستوى المركب. الجذر الأصلي هو الجذر ذو الزاوية (الوسيط) الأصغر غير السالبة.

الصلة بالدوال الأسية واللوغاريتمية

يمكن التعبير عن الجذر من الدرجة n باستخدام اللوغاريتم الطبيعي:

يُستخدم هذا الشكل في بعض الخوارزميات الحسابية حين لا تتوفر دالة الأس المباشرة. في حالة x سالب مع n فردي، يُحسب −(ⁿ√|x|) بدلاً من ذلك.

تطبيقات

• التحجيم الهندسي: إن كان حجم مكعب هو V، فطول ضلعه يساوي ∛V — الجذر التكعيبي للحجم.
• النمو المركب: إذا نما استثمار بمعامل F خلال n فترة زمنية، فإن معامل النمو لكل فترة يساوي ⁿ√F.
• الإحصاء: الوسط الهندسي لـ n عدد يساوي الجذر من الدرجة n لحاصل ضربها.
• معالجة الإشارات: قيم متوسط التربيع التجذيري (RMS) تنطوي على جذر تربيعي؛ والمعايير من مراتب أعلى تستخدم جذوراً ذات درجات أعلى.