Calculadora de Progresión Aritmética

Última actualización: 2026-05-19

¿Qué es una progresión aritmética?

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que cada término se obtiene sumando una cantidad fija al anterior — la razón común d. Con primer término a₁, la sucesión queda:

$$a_1,\quad a_1 + d,\quad a_1 + 2d,\quad a_1 + 3d,\quad \ldots$$

Por ejemplo: 5, 8, 11, 14, … (a₁ = 5, d = 3). Esta calculadora obtiene en un solo paso el término n-ésimo (aₙ), la suma parcial (Sₙ) y el promedio de los primeros n términos.

Fórmula del término n-ésimo

El término n-ésimo de una progresión aritmética es:

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$

¿Por qué? Desde a₁ hasta aₙ se dan exactamente n−1 pasos, y en cada uno se añade d.

Ejemplo. La progresión 3, 7, 11, 15, … tiene a₁ = 3 y d = 4. Su 20.º término vale:

$$a_{20} = 3 + (20 - 1) \times 4 = 3 + 76 = 79$$

Fórmula de la suma y el truco de Gauss

La suma de los primeros n términos es:

$$S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}$$

La historia cuenta que el joven Gauss calculó mentalmente la suma de 1 a 100 al notar que los pares formados por el primer y el último número siempre suman lo mismo:

$$1 + 100 = 101,\quad 2 + 99 = 101,\quad 3 + 98 = 101,\quad \ldots$$

Hay 50 pares con suma 101, por lo que el total es 50 × 101 = 5 050. En general, hay n/2 pares, cada uno con suma a₁ + aₙ. Si aₙ no se conoce de antemano, se puede usar:

$$S_n = \frac{n \cdot (2a_1 + (n-1)d)}{2}$$

Promedio

El promedio de los primeros n términos coincide con la media aritmética del primero y el último:

$$\bar{a} = \frac{S_n}{n} = \frac{a_1 + a_n}{2}$$

Esto refleja la simetría de la progresión: los términos están distribuidos de forma uniforme alrededor de este punto central.

Conexión con las funciones lineales

Las progresiones aritméticas son la versión discreta de las funciones lineales. Si se representa n en el eje x y aₙ en el eje y, los puntos forman una línea recta:

$$a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$$

La razón d juega el papel de la pendiente y (a₁ − d) es la ordenada al origen. Esta relación facilita el paso de sucesiones a funciones en el currículo de secundaria.

Casos especiales

Condición	Efecto
d = 0	Sucesión constante; Sₙ = n·a₁
d < 0	Progresión decreciente
d fraccionario	Válido; términos decimales igualmente espaciados
n = 1	aₙ = a₁; S₁ = a₁; promedio = a₁

Ejemplo con valores reales

Un empleado gana 1.800 € el primer mes y su sueldo aumenta 75 € cada mes (a₁ = 1.800, d = 75). ¿Cuánto ganará en el mes 12 y cuál será el total acumulado durante el año?

• a₁ = 1.800 €, d = 75 €, n = 12
• a₁₂ = 1.800 + 11 × 75 = 1.800 + 825 = 2.625 €
• S₁₂ = 12 × (1.800 + 2.625) / 2 = 12 × 2.212,5 = 26.550 €
• Sueldo mensual promedio: 2.212,50 €

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cómo se calcula el término n-ésimo de una progresión aritmética?

Se usa la fórmula aₙ = a₁ + (n − 1)·d, donde a₁ es el primer término, d es la razón común y n es la posición. Por ejemplo, en la progresión 2, 5, 8, 11, … (a₁ = 2, d = 3), el décimo término es 2 + 9·3 = 29.

¿Cuál es la fórmula para la suma de una progresión aritmética?

La suma de los primeros n términos es Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2. Esta fórmula se basa en el truco de emparejamiento de Gauss: cada par formado por el primero y el último término suma a₁ + aₙ, y hay n/2 pares. Equivalentemente: Sₙ = n·(2a₁ + (n−1)d)/2.

¿En qué se diferencia una progresión aritmética de una geométrica?

En una progresión aritmética se suma una razón fija d en cada paso (crecimiento lineal). En una geométrica se multiplica por una razón fija r (crecimiento exponencial). Ejemplo: 2, 5, 8, 11 es aritmética (d = 3); 2, 6, 18, 54 es geométrica (r = 3).

¿La razón puede ser negativa o fraccionaria?

Sí, d puede ser cualquier número real. Una razón negativa produce una progresión decreciente (p. ej., 10, 7, 4, 1, −2, …). Las razones fraccionarias también son válidas (p. ej., d = 0,5 da 1; 1,5; 2; 2,5; …). Cuando d = 0, todos los términos son iguales a a₁ y Sₙ = n·a₁.