Calculadora de Probabilidad Binomial

Última actualización: 2026-05-18

¿Qué es la distribución binomial?

La distribución binomial modela el número de éxitos en un número fijo de ensayos independientes, cada uno con la misma probabilidad de éxito. Lanzar una moneda 10 veces y contar caras, inspeccionar 100 piezas y contar defectos, o encuestar a 50 votantes — todos estos casos siguen el modelo binomial cuando cada ensayo tiene únicamente dos resultados posibles y los ensayos son independientes entre sí.

Fórmulas

Para $n$ ensayos, $k$ éxitos y probabilidad de éxito $p$ por ensayo:

Combinaciones (número de formas de elegir $k$ éxitos entre $n$ ensayos):

C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Probabilidad exacta:

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Probabilidad acumulada (como máximo $k$ éxitos):

P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}

Al menos $k$ éxitos:

P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)

Media y desviación típica:

\mu = np \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}

Ejemplo resuelto: lanzamiento de moneda

Lance una moneda equilibrada ($p = 0{,}5$) 10 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras?

P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0{,}5^3 \times 0{,}5^7 = 120 \times \frac{1}{1024} \approx 0{,}117

Una probabilidad de aproximadamente el 11,7 %. La probabilidad acumulada de obtener 3 caras o menos:

P(X \leq 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = \frac{1 + 10 + 45 + 120}{1024} = \frac{176}{1024} \approx 17{,}2\%

Y 3 caras o más: $P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 56/1024 \approx 94{,}5\%$ .

Aproximación normal

Para valores grandes de $n$ , la distribución binomial se asemeja a una distribución normal. La aproximación $X \approx N(\mu, \sigma^2)$ es fiable cuando se cumplen las condiciones:

np \geq 5 \quad \text{y} \quad n(1-p) \geq 5

Aplique la corrección de continuidad: $P(X = k) \approx P(k - 0{,}5 < Z < k + 0{,}5)$ , donde $Z$ sigue la distribución normal estándar.

Para $n = 10$ , $p = 0{,}5$ : $np = 5$ está en el límite — la aproximación es poco precisa en ese caso. A partir de $n = 100$ o más, la aproximación resulta excelente.

Aplicaciones

Control de calidad: Una fábrica produce tornillos con una tasa de defectos del 2 %. Al inspeccionar un lote de 50 unidades, la probabilidad de encontrar más de 2 defectuosas se obtiene con $n = 50$ , $p = 0{,}02$ : $P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2)$ .

Ensayo clínico: Un medicamento tiene una tasa de respuesta del 70 %. En un ensayo con 20 pacientes, la probabilidad de que al menos 15 respondan favorablemente se calcula con $n = 20$ , $p = 0{,}7$ : $P(X \geq 15)$ .

Encuesta electoral: Si el 40 % del electorado apoya una medida, la probabilidad de que exactamente 5 de 12 votantes seleccionados al azar la apoyen se obtiene directamente de la fórmula binomial con $n = 12$ , $k = 5$ , $p = 0{,}4$ .

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cuál es la fórmula de la probabilidad binomial?

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k), donde C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) es el número de formas de elegir k éxitos entre n ensayos. Por ejemplo, la probabilidad de obtener exactamente 3 caras en 10 lanzamientos de una moneda equilibrada es: P = C(10,3) × 0,5³ × 0,5⁷ = 120 × (1/1024) ≈ 0,1172 (aproximadamente el 11,7 %).

¿Cómo se calcula la probabilidad binomial acumulada?

P(X ≤ k) es la suma de P(X=0) + P(X=1) + … + P(X=k). En 10 lanzamientos de moneda, la probabilidad de obtener 3 caras o menos es P(X ≤ 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) ≈ 0,172. La probabilidad complementaria P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1) recoge la probabilidad de obtener k o más éxitos.

¿Cuáles son la media y la desviación estándar de una distribución binomial?

Media: μ = n × p. Desviación estándar: σ = √(np(1−p)). Para 10 ensayos con p = 0,5: μ = 5 y σ = √2,5 ≈ 1,58. La media indica el número esperado de éxitos y la desviación estándar mide cuánto puede alejarse el resultado real de esa expectativa.

¿Cuándo se puede aproximar la distribución binomial con la normal?

La aproximación normal es adecuada cuando se cumplen np ≥ 5 y n(1−p) ≥ 5. En ese caso, X ≈ N(μ, σ²) con μ = np y σ² = np(1−p). Aplicando la corrección por continuidad: P(X = k) ≈ P(k−0,5 < Z < k+0,5). Para n = 10 y p = 0,5, np = 5 está justo en el límite; la aproximación es más fiable a partir de n ≥ 30.

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