Calculadora del Circuncírculo

Última actualización: 2026-05-20

Definición

El circuncírculo (o círculo circunscrito) de un triángulo es el único círculo que pasa por sus tres vértices. Su radio $R$ se denomina circunradio y su centro recibe el nombre de circuncentro. Esta calculadora obtiene $R$, el área del circuncírculo y su longitud conociendo únicamente los tres lados $a$, $b$, $c$.

Todo triángulo tiene exactamente un circuncírculo, al contrario de lo que ocurre, por ejemplo, con un cuadrilátero general. El circuncírculo es fundamental en geometría clásica y su radio aparece en numerosos contextos de trigonometría y navegación.

Cálculo del circunradio

La fórmula estándar combina la fórmula de Herón para el área del triángulo con el producto de los lados:

Paso 1 — Semiperímetro:

$s = \frac{a + b + c}{2}$

Paso 2 — Área del triángulo (fórmula de Herón):

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Paso 3 — Circunradio:

$R = \frac{abc}{4S}$

Ejemplo resuelto — triángulo 7-8-9:

$s = \frac{7+8+9}{2} = 12$

$S = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} \approx 26{,}83$

$R = \frac{7 \times 8 \times 9}{4 \times 26{,}83} = \frac{504}{107{,}3} \approx 4{,}70$

El área del circuncírculo es $\pi R^2 \approx 69{,}4$ y su longitud $2\pi R \approx 29{,}5$.

Posición del circuncentro

El circuncentro $O$ es el punto equidistante de los tres vértices. Geométricamente, se encuentra en la intersección de las mediatrices de los tres lados. Su posición respecto al triángulo depende del tipo:

Tipo de triángulo	Posición del circuncentro
Acutángulo (todos los ángulos < 90°)	Dentro del triángulo
Rectángulo (un ángulo = 90°)	En el punto medio de la hipotenusa
Obtusángulo (un ángulo > 90°)	Fuera del triángulo

El caso del triángulo rectángulo es una comprobación útil: para los lados 3, 4, 5, el circuncentro está en el punto medio del lado 5, lo que da $R = 5/2 = 2{,}5$, coincidiendo con la fórmula $R = abc/(4S) = 60/24 = 2{,}5$.

Relación con la ley de senos

El circunradio tiene una conexión elegante con los ángulos a través de la ley de senos extendida:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Esto indica que $R$ es la mitad del cociente entre cualquier lado y el seno de su ángulo opuesto. También explica el resultado del triángulo rectángulo: cuando $C = 90°$, $\sin C = 1$, luego $2R = c$, es decir, $R = c/2$.

Circuncírculo frente a incírculo

El incírculo está inscrito en el triángulo y es tangente a los tres lados. Su radio $r$ es:

$r = \frac{S}{s}$

Ambos radios satisfacen la desigualdad $R \geq 2r$: el circunradio es siempre al menos el doble del inradio, y la razón mínima $R/r = 2$ solo se alcanza en el triángulo equilátero. Para el triángulo 3-4-5: $R = 2{,}5$ y $r = 6/6 = 1$, por lo que $R/r = 2{,}5$, mayor que el mínimo teórico.

Los dos radios dependen de la misma área $S$ y el semiperímetro $s$, pero codifican propiedades geométricas distintas: $R$ mide el alcance exterior del triángulo y $r$, el espacio interior disponible.

Desigualdad triangular

La fórmula solo produce un resultado real cuando los tres lados forman un triángulo válido. La desigualdad triangular exige:

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

Si alguna condición no se cumple, el triángulo no existe. Por ejemplo, los lados 1, 2 y 10 fallan porque $1 + 2 = 3 < 10$; en ese caso la fórmula de Herón daría un valor negativo bajo la raíz, con lo que $R$ quedaría indefinido.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué es el circunradio de un triángulo?

El circunradio R es el radio del circuncírculo: el único círculo que pasa por los tres vértices del triángulo. Para un triángulo de lados a, b, c y área S, la fórmula es R = abc ÷ (4S). Para el triángulo 3-4-5: S = 6, así que R = (3 × 4 × 5) ÷ (4 × 6) = 60 ÷ 24 = 2,5. En todo triángulo rectángulo, R es exactamente la mitad de la hipotenusa.

¿Dónde está el circuncentro del triángulo?

El circuncentro O es el punto equidistante de los tres vértices. Geométricamente, es la intersección de las mediatrices de los tres lados. Su posición respecto al triángulo depende del tipo: en un triángulo acutángulo queda dentro; en uno rectángulo, en el punto medio de la hipotenusa; en uno obtusángulo, fuera del triángulo, al otro lado del lado mayor.

¿Cuál es la diferencia entre el circuncírculo y el incírculo?

El circuncírculo pasa por los tres vértices y tiene radio R = abc ÷ (4S). El incírculo es tangente a los tres lados desde el interior y tiene radio r = S ÷ s, donde s = (a + b + c) ÷ 2 es el semiperímetro. Para el triángulo 3-4-5: R = 2,5 y r = 1. Siempre se cumple R ≥ 2r: el circunradio es al menos el doble del inradio, y la razón mínima R/r = 2 solo se alcanza en el triángulo equilátero.

¿Cómo se relaciona el circunradio con la ley de senos?

La ley de senos extendida establece que a ÷ sen A = b ÷ sen B = c ÷ sen C = 2R. Esto significa que el circunradio es la mitad del cociente entre cualquier lado y el seno de su ángulo opuesto. Por ejemplo, con a = 5 y sen A = 0,6: R = 5 ÷ (2 × 0,6) = 4,167. Esta relación explica por qué en los triángulos rectángulos (ángulo de 90°, seno = 1) el circunradio equivale a la mitad de la hipotenusa.