Calculadora de Producto Vectorial (Vectores 3D)

Calcula el producto vectorial (producto cruz) de dos vectores tridimensionales: componentes, módulo y área del paralelogramo. Paso a paso.

Datos de entrada

Resultados

\begin{aligned} c_1 &= a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ &= (2)(6) - (3)(5) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} c_2 &= a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ &= (3)(4) - (1)(6) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} c_3 &= a_1 b_2 - a_2 b_1 \\ &= (1)(5) - (2)(4) \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} |\mathbf{c}| &= \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2} \\ &= \sqrt{(?)^2 + (?)^2 + (?)^2} \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} A &= |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| \\ &= ? \end{aligned}

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¿Qué es el producto vectorial?

El producto vectorial de dos vectores tridimensionales a y b es un tercer vector c = a × b perpendicular a ambos, con módulo |a||b|sen θ, donde θ es el ángulo que forman.

Fórmula

El producto vectorial se define mediante el determinante 3×3:

a×b=∣ijka1a2a3b1b2b3∣=(a2b3−a3b2) i−(a1b3−a3b1) j+(a1b2−a2b1) k\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2 b_3 - a_3 b_2)\,\mathbf{i} - (a_1 b_3 - a_3 b_1)\,\mathbf{j} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\,\mathbf{k}

Desarrollando los cofactores se obtienen tres componentes escalares:

c1=a2b3−a3b2,c2=a3b1−a1b3,c3=a1b2−a2b1c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2, \quad c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3, \quad c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1

El módulo (que coincide con el área del paralelogramo formado por a y b) es:

∣a×b∣=c12+c22+c32|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2}

Regla de la mano derecha

La dirección de a × b se determina con la regla de la mano derecha: apunta los dedos de la mano derecha en la dirección de a, ciérralos hacia b pasando por el ángulo menor, y el pulgar extendido señala la dirección de a × b. Esto convierte al producto vectorial en una operación anticonmutativa: b × a = −(a × b); invertir el orden invierte la dirección del resultado.

Ejemplo resuelto

Sean a = (1, 2, 3) y b = (4, 5, 6).

c1=(2)(6)−(3)(5)=12−15=−3c_1 = (2)(6) - (3)(5) = 12 - 15 = -3 c2=(3)(4)−(1)(6)=12−6=6c_2 = (3)(4) - (1)(6) = 12 - 6 = 6 c3=(1)(5)−(2)(4)=5−8=−3c_3 = (1)(5) - (2)(4) = 5 - 8 = -3

Por tanto a × b = (−3, 6, −3). El módulo es:

(−3)2+62+(−3)2=9+36+9=54=36≈7,348\sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7{,}348

Este valor es también el área del paralelogramo de lados a y b.

Interpretación geométrica

El módulo |a × b| da el área del paralelogramo cuyos lados adyacentes son a y b. La mitad de ese valor es el área del triángulo determinado por los dos vectores, resultado que se utiliza en geometría 3D e informática gráfica para calcular superficies a partir de coordenadas de vértices.

Cuando los dos vectores son paralelos, sen θ = 0 y, por tanto, a × b = 0. Este hecho sirve como prueba de colinealidad: si el producto vectorial de dos vectores de arista es el vector nulo, los puntos son colineales.

Existencia en 3D (y en 7D)

El producto vectorial estándar requiere exactamente tres dimensiones para producir un único vector perpendicular a otros dos mediante el determinante. En 2D no hay un tercer eje; en 4D o más, el conjunto de vectores perpendiculares a dos vectores dados forma un subespacio de más de una dimensión, por lo que no existe un «vector perpendicular» único. Hay una generalización en 7 dimensiones basada en los octóniones, pero la versión tridimensional abarca prácticamente todas las aplicaciones en física, ingeniería e informática gráfica.

Aplicaciones

El producto vectorial aparece siempre que se necesita un eje perpendicular o un área:

  • Momento de torsión (torque): τ = r × F, donde r es el brazo de palanca y F la fuerza aplicada.
  • Momento angular: L = r × p.
  • Normales a superficies: en renderizado 3D, la normal a un polígono triangular es el producto vectorial de dos vectores de arista.
  • Fuerza magnética: F = q(v × B) — fuerza de Lorentz sobre una carga en movimiento.
  • Área de un triángulo: la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores de arista.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué representa geométricamente el producto vectorial?

El producto vectorial a × b produce un vector perpendicular a ambos vectores a y b. Su dirección se determina mediante la regla de la mano derecha y su módulo es |a||b|sen θ, donde θ es el ángulo entre a y b. Geométricamente, ese módulo coincide con el área del paralelogramo cuyos lados son a y b. Si a × b = 0, los vectores son paralelos (o alguno de ellos es el vector nulo).

¿En qué consiste la regla de la mano derecha?

Apunta los dedos de la mano derecha en la dirección de a, ciérralos hacia b pasando por el ángulo menor, y el pulgar extendido señalará la dirección de a × b. El producto vectorial es anticonmutativo: b × a = −(a × b). Intercambiar el orden invierte la dirección del resultado.

¿Por qué el producto vectorial solo existe en 3D (y en 7D)?

El producto vectorial estándar requiere exactamente tres dimensiones para obtener un único vector perpendicular a otros dos mediante el desarrollo del determinante. En 2D no existe un tercer eje; en 4D o más, el conjunto de vectores perpendiculares a dos vectores dados forma un subespacio con más de una dimensión, por lo que no hay un «vector perpendicular» único. Existe una generalización en 7 dimensiones basada en el álgebra de los octóniones, pero la versión tridimensional cubre prácticamente todas las aplicaciones en física, ingeniería e informática gráfica.

¿Cuándo es nulo el producto vectorial?

a × b = 0 cuando los dos vectores son paralelos (incluyendo el caso antiparalelo) o cuando alguno de ellos es el vector nulo. En ese caso sen θ = 0, por lo que el módulo |a||b|sen θ = 0. Físicamente, dos vectores paralelos no delimitan ninguna área, de modo que el paralelogramo degenera en un segmento.

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