Integral Definida de Polinomios

Última actualización: 2026-05-26

Integral definida

Una integral definida es el área con signo comprendida entre una función y el eje x en un intervalo cerrado $[a, b]$:

$\int_a^b P(x)\,dx$

«Con signo» significa que las zonas situadas por debajo del eje x cuentan como negativas. Si la curva desciende bajo cero en parte del intervalo, esa porción se resta del total. El resultado es un número, no una función.

El Teorema Fundamental del Cálculo

La herramienta central que hace práctica la integración definida es el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC):

$\int_a^b P(x)\,dx = F(b) - F(a)$

donde $F(x)$ es cualquier antiderivada de $P(x)$, es decir, una función que satisface $F'(x) = P(x)$.

En lugar de sumar infinitos rectángulos infinitesimales, basta con:

1. Hallar la antiderivada $F(x)$.
2. Evaluar $F$ en ambos extremos del intervalo.
3. Restar.

La regla de la potencia para integración

Para los polinomios, la antiderivada de cada término se obtiene mediante la regla de la potencia:

$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1)$

Se aplica término a término para integrar cualquier polinomio de forma exacta.

Ejemplo — $\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx$:

Término	Regla de la potencia	Término de la antiderivada
$3x^2$	$3 \cdot \dfrac{x^3}{3}$	$x^3$
$-1$	$-1 \cdot \dfrac{x^1}{1}$	$-x$

Entonces $F(x) = x^3 - x$.

$\int_0^2 (3x^2 - 1)\,dx = F(2) - F(0) = (8 - 2) - (0 - 0) = 6$

Entrada de coeficientes

Los coeficientes del polinomio se ingresan de mayor a menor grado, separados por comas.

Polinomio	Entrada de coeficientes
$x^2$	1, 0, 0
$3x^2 - 1$	3, 0, -1
$2x^3 + x - 5$	2, 0, 1, -5
$7$ (constante)	7

La cantidad de valores determina el grado: cuatro valores corresponden a un polinomio de grado 3.

Área con signo e inversión de límites

La integral definida produce área con signo, lo que tiene dos consecuencias importantes:

Cuando la curva está por debajo del eje x: las contribuciones son negativas. Por ejemplo, $\int_0^1 (-x)\,dx = -\tfrac{1}{2}$, aunque la región geométrica tenga área $\tfrac{1}{2}$.

Cuando $a > b$: la integral es el negativo de integrar de $b$ a $a$:

$\int_a^b P(x)\,dx = -\int_b^a P(x)\,dx$

Esto no es un error, sino una propiedad fundamental de la integral. La calculadora lo maneja correctamente: ingresar $a = 2, b = 0$ devuelve el negativo del resultado de $a = 0, b = 2$.

La constante de integración

Al calcular una integral indefinida se escribe $F(x) + C$, donde $C$ es una constante arbitraria. En las integrales definidas, $C$ se cancela:

$[F(x) + C]_a^b = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$

Por ello, la constante de integración carece de efecto en las integrales definidas y se omite en la antiderivada que muestra la calculadora.

Alcance y métodos alternativos

La regla de la potencia solo se aplica a polinomios ($x^n$ con $n$ entero $\geq 0$). Para otras funciones se requieren métodos numéricos:

Tipo de función	Método
$\sin x$, $\cos x$, $e^x$	Antiderivadas conocidas (resultado exacto)
Racionales, algebraicas	Fracciones parciales, sustitución
Sin antiderivada en forma cerrada	Regla de Simpson, cuadratura de Gauss

Si el integrando no puede expresarse como un polinomio, esta calculadora no es el instrumento adecuado: conviene recurrir a un método de integración numérica o a un sistema de álgebra computacional.

Aplicaciones prácticas

Las integrales definidas aparecen en múltiples disciplinas científicas e ingenieriles:

• Física: desplazamiento a partir de la velocidad ($\int v\,dt$), trabajo realizado por una fuerza ($\int F\,dx$).
• Economía: excedente del consumidor (área entre la curva de demanda y el nivel de precio).
• Probabilidad: la probabilidad de que una variable aleatoria continua caiga en $[a, b]$ es $\int_a^b f(x)\,dx$, donde $f$ es la función de densidad.
• Geometría: área entre dos curvas, volumen de sólidos de revolución.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Esta calculadora sirve para cualquier función?

Solo se integran polinomios — funciones de la forma P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀. Para ellos, la antiderivada se obtiene término a término con la regla de la potencia, produciendo un resultado exacto sin error de aproximación. Para integrandos no polinómicos (sin x, eˣ, ln x, etc.) se requieren métodos de integración numérica como la regla de Simpson o la cuadratura de Gauss.

¿Qué ocurre si el límite inferior es mayor que el superior (a > b)?

La calculadora devuelve el área con signo correcto. Por la propiedad de las integrales definidas, ∫_a^b P(x) dx = −∫_b^a P(x) dx. Si a > b, el resultado es simplemente el negativo de integrar de b a a. Esto es matemáticamente válido y resulta útil al plantear integrales dobles o integrales de flujo.

¿Qué es la antiderivada y por qué es útil?

La antiderivada F(x) de P(x) es una función cuya derivada es P(x). Para un monomio aₙxⁿ, la regla de la potencia da aₙxⁿ⁺¹/(n+1). Para integrar un polinomio se aplica la regla a cada término y se suman los resultados. El Teorema Fundamental del Cálculo establece entonces que ∫_a^b P(x) dx = F(b) − F(a), convirtiendo el problema de integración en una simple sustitución.

¿Por qué no aparece la constante de integración?

Al evaluar una integral definida, la constante de integración C se cancela: [F(x) + C] evaluado de a a b da (F(b) + C) − (F(a) + C) = F(b) − F(a). La constante no afecta el resultado, por lo que se omite por convención. Solo es relevante en integrales indefinidas, donde la familia de antiderivadas se escribe F(x) + C.