Calculadora de números de Fibonacci

Última actualización: 2026-05-19

Qué calcula esta herramienta

La sucesión de Fibonacci es una sucesión de números en la que cada término es la suma de los dos anteriores, con valores iniciales F(0) = 0 y F(1) = 1. La calculadora calcula F(n) para cualquier índice entre 0 y 70, y muestra además F(n−1), la razón F(n)/F(n−1) —que converge a la proporción áurea φ— y la sucesión completa de F(0) a F(n).

Definición y origen

La sucesión de Fibonacci comienza con 0 y 1; a partir de ahí, cada término es la suma de los dos anteriores:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Formalmente: F(0) = 0, F(1) = 1 y F(n) = F(n−1) + F(n−2) para n ≥ 2.

Debe su nombre al matemático italiano Leonardo de Pisa (h. 1170–1250), conocido como Fibonacci, quien la empleó en 1202 en su obra Liber Abaci para modelar el crecimiento de una población de conejos. Sin embargo, los matemáticos indios ya habían descrito la misma sucesión siglos antes en el estudio de la métrica sánscrita.

Método de cálculo iterativo

La calculadora usa un bucle iterativo en lugar de la definición recursiva. Partiendo de F(0) = 0 y F(1) = 1, cada paso suma los dos términos anteriores hasta llegar a F(n) en exactamente n − 1 sumas. Esto funciona en tiempo O(n) y evita la explosión exponencial de la recursión ingenua.

El índice máximo admitido es n = 70, porque F(70) = 190.392.490.709.135 es el mayor número de Fibonacci que cabe exactamente en un número de coma flotante de 64 bits (IEEE 754). Con n = 71 o más, los valores superan el límite de entero seguro 2⁵³ y el redondeo alteraría el resultado.

Ejemplo resuelto

Entrada: n = 12

n	F(n)
0	0
1	1
2	1
3	2
4	3
5	5
6	8
7	13
8	21
9	34
10	55
11	89
12	144

Resultado: F(12) = 144, F(11) = 89, razón = 144/89 ≈ 1,61797753.

Cabe señalar que 144 = 12² es un cuadrado perfecto. Junto con 0 y 1, es el único número de Fibonacci que también es cuadrado perfecto (teorema de Ljunggren).

La conexión con la proporción áurea

A medida que n crece, la razón F(n) / F(n−1) converge a la proporción áurea:

$\varphi = (1 + \sqrt{5}) / 2 \approx 1{,}6180339887\ldots$

n	F(n)	F(n)/F(n−1)
5	5	1,66667
10	55	1,61765
20	6.765	1,61803
30	832.040	1,61803399

Con n = 20 la razón ya coincide con φ hasta seis decimales. La proporción áurea aparece en la diagonal del pentágono regular (relación con el lado), en la arquitectura clásica y en los patrones en espiral de las semillas de girasol y las piñas de los pinos.

La fórmula de Binet

La fórmula de Binet expresa F(n) directamente, sin iteración:

$F(n) = (\varphi^n - \psi^n) / \sqrt{5}$

donde $\varphi = (1 + \sqrt{5})/2 \approx 1{,}61803$ es la proporción áurea y $\psi = (1 - \sqrt{5})/2 \approx -0{,}61803$ es su conjugado.

Como |ψ| < 1, el término ψⁿ se acerca a cero al crecer n. Para n ≥ 1, F(n) es sencillamente el entero más cercano a $\varphi^n / \sqrt{5}$. Pese a su elegancia, la fórmula depende de la aritmética en coma flotante y pierde precisión para n grande; de ahí que esta calculadora utilice el método iterativo.

Aplicaciones en la naturaleza y la ciencia

La sucesión aparece en ámbitos muy diversos:

• Botánica: Muchas flores tienen pétalos en número de Fibonacci —habitualmente 3, 5, 8 o 13—. Las cabezuelas de girasol suelen mostrar 34 y 55 espirales en sentidos opuestos.
• Filotaxis: Las hojas y ramas crecen a menudo en ángulos relacionados con φ, lo que maximiza la captación de luz solar.
• Informática: Los montículos de Fibonacci, una estructura de datos para algoritmos de grafos, toman su nombre de la sucesión. La implementación recursiva ingenua del cálculo de F(n) es el ejemplo clásico de complejidad exponencial en la docencia de algoritmos.
• Análisis técnico: Los retrocesos de Fibonacci (23,6 %, 38,2 %, 61,8 %) —derivados de cocientes entre términos consecutivos— se usan ampliamente en bolsa y divisas, aunque su valor predictivo es debatido.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué es la sucesión de Fibonacci?

La sucesión de Fibonacci es una serie de números en la que cada término es la suma de los dos anteriores: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Formalmente, F(0) = 0, F(1) = 1 y F(n) = F(n−1) + F(n−2) para n ≥ 2.

Debe su nombre al matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci, h. 1170–1250), quien la usó en 1202 en su obra Liber Abaci para modelar el crecimiento de una población de conejos, aunque los matemáticos indios ya la habían descrito siglos antes en el contexto de la métrica sánscrita.

¿Cómo se relaciona la sucesión de Fibonacci con el número áureo?

A medida que n crece, la razón entre términos consecutivos F(n) / F(n−1) converge a la proporción áurea φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180339887. Con n = 10 la razón ya es 1,61765 y con n = 20 coincide con φ hasta seis decimales. Esta conexión aparece en geometría (diagonal y lado del pentágono regular), en el arte y en la naturaleza, como en las espirales de las semillas de girasol.

¿Qué dice la fórmula de Binet?

La fórmula de Binet calcula F(n) directamente sin iteración: F(n) = (φⁿ − ψⁿ) / √5, donde φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,61803 es la proporción áurea y ψ = (1 − √5)/2 ≈ −0,61803 es su conjugado. Como |ψ| < 1, el término ψⁿ tiende a cero, por lo que F(n) es simplemente el entero más cercano a φⁿ / √5. Aunque elegante, la fórmula usa aritmética en coma flotante y pierde precisión para n grande; por eso esta calculadora usa el método iterativo.

¿Hasta qué valor de n funciona la calculadora?

La calculadora admite n entre 0 y 70. F(70) = 190.392.490.709.135 es el mayor número de Fibonacci que cabe exactamente en un número de coma flotante de 64 bits (IEEE 754). A partir de F(71), los valores superan el límite de entero seguro 2⁵³ = 9.007.199.254.740.992, por lo que el resultado podría tener errores de redondeo.