Ecuación de la recta a partir de dos puntos

Última actualización: 2026-05-19

Ecuación de la recta a partir de dos puntos

Una recta en el plano cartesiano queda determinada por dos puntos cualesquiera de ella. Dados P₁ = (x₁, y₁) y P₂ = (x₂, y₂), la recta que los une tiene una sola pendiente y puede expresarse en tres formas estándar, cada una útil en distintos contextos.

Las tres formas estándar

Forma pendiente-ordenada: y = mx + b

La más utilizada. m es la pendiente (variación en y dividida entre variación en x) y b es la ordenada en el origen (donde la recta corta al eje y).

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$b = y_1 - m \cdot x_1$

Cuándo usarla: para graficar rápidamente (partir de (0, b) y subir m por cada unidad a la derecha), para identificar de un vistazo la pendiente y el punto de corte con el eje y.

Forma punto-pendiente: y − y₁ = m(x − x₁)

Utiliza directamente uno de los puntos dados y la pendiente, sin necesidad de calcular b primero.

Cuándo usarla: cuando se conoce un punto y la pendiente, o como paso intermedio para obtener otras formas.

Forma general: Ax + By = C

Todos los términos en un solo lado, sin fracciones si las coordenadas son enteras. Convención: A ≥ 0.

Cuándo usarla: para resolver sistemas de ecuaciones lineales (es fácil sumar o restar ecuaciones) y para encontrar ambas intersecciones con los ejes al mismo tiempo.

Casos especiales

Recta vertical

Cuando x₁ = x₂, los dos puntos están sobre una recta vertical. La pendiente no está definida porque el denominador x₂ − x₁ = 0 implicaría una división por cero. La ecuación es simplemente x = x₁.

Recta horizontal

Cuando y₁ = y₂, la recta es horizontal. La pendiente es 0, la ordenada en el origen es y₁, y las tres formas se simplifican a y = y₁.

Ejemplo

Dados los puntos P₁ = (1, 2) y P₂ = (4, 11):

$m = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$

$b = 2 - 3 \cdot 1 = -1$

Las tres formas resultan:

• Pendiente-ordenada: y = 3x − 1
• Punto-pendiente: y − 2 = 3(x − 1)
• Forma general: 3x − y = 1

Conversión entre formas

Coeficientes enteros en la forma general

Cuando la pendiente es m = p/q (fracción irreducible), se multiplican todos los términos de y = mx + b por q:

$qy = px + qb \implies px - qy = -qb$

Así, A = p, B = −q y C = −qb son enteros. Esta calculadora aplica ese paso automáticamente cuando las coordenadas de entrada son enteras.