Calculadora de Distribución Normal

Última actualización: 2026-05-18

Calculadora de distribución normal

La distribución normal (también llamada gaussiana) es una distribución de probabilidad continua, simétrica respecto a su media, con la característica forma de campana. A partir del valor observado, la media y la desviación estándar, esta calculadora obtiene el puntaje Z, la probabilidad acumulada P(X < x), la probabilidad complementaria P(X > x), el percentil y la densidad de probabilidad f(x), sin necesidad de consultar una tabla Z.

Parámetros y función de densidad

La distribución normal aproxima numerosos fenómenos naturales y sociales: estaturas, errores de medición, resultados de exámenes estandarizados y rendimientos financieros, entre otros, tienden a este comportamiento cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande.

La forma de la distribución queda determinada completamente por dos parámetros:

• μ (media) — el centro de la distribución
• σ (desviación estándar) — qué tan dispersos están los valores

La función de densidad de probabilidad es:

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\!\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$

El puntaje Z

El puntaje Z convierte cualquier valor a unidades de desviaciones estándar:

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Puntaje Z	Interpretación
z = 0	El valor es igual a la media
z = 1	Una σ por encima de la media
z = −2	Dos σ por debajo de la media
z > 3	Valor extremo — ocurre < 0,3 % de las veces

Los puntajes Z permiten comparar valores de distribuciones con escalas distintas — por ejemplo, calificaciones de diferentes materias o resultados de distintas pruebas nacionales estandarizadas.

Probabilidad acumulada: P(X < x)

P(X < x) es el área bajo la curva de campana a la izquierda de x. Representa la probabilidad de que un valor tomado al azar de esta distribución sea menor que x.

$$P(X < x) = \Phi(z) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$

Aquí Φ(z) denota la función de distribución acumulada (CDF) de la distribución normal estándar N(0, 1), y erf es la función de error — una función especial definida como $\text{erf}(t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^t e^{-s^2}\,ds$.

Esta calculadora emplea la aproximación racional de Abramowitz & Stegun §7.1.26 (error máximo < 1,5 × 10⁻⁷), con una precisión de 6 cifras significativas.

La regla del 68-95-99,7

Para cualquier distribución normal, tres intervalos definen el rango práctico de los datos:

Intervalo	Probabilidad
μ ± 1σ	~68,3 %
μ ± 2σ	~95,4 %
μ ± 3σ	~99,7 %

Solo aproximadamente 1 de cada 370 valores se aleja más de 3 desviaciones estándar de la media. En control de calidad industrial se utilizan límites de 3σ o 6σ (Six Sigma) como criterio de producción libre de defectos. En diagnóstico clínico, los rangos de referencia de muchos análisis de sangre corresponden al intervalo media ± 2σ de una población sana.

Ejemplo resuelto

En un examen de matemáticas, las calificaciones de un curso presentan una media μ = 72 y una desviación estándar σ = 8. Un estudiante obtuvo x = 85.

$$z = \frac{85 - 72}{8} = 1{,}625$$ $$P(X < 85) = \Phi(1{,}625) \approx 0{,}9479$$

El estudiante se ubica aproximadamente en el percentil 95 — superó a cerca del 94,8 % de sus compañeros. Solo el 5,2 % del curso obtuvo una calificación superior.

Densidad de probabilidad f(x) frente a probabilidad acumulada

Cantidad	Símbolo	Significado
Densidad de probabilidad	f(x)	Altura de la curva en x — no es una probabilidad en sí misma
Probabilidad acumulada	P(X < x)	Área bajo la curva a la izquierda de x — una probabilidad real

Cuando σ es pequeño (distribución estrecha), f(x) puede ser mayor que 1. Esto es correcto: f(x) es una densidad, no una probabilidad. En una distribución continua, la probabilidad de que el valor sea exactamente un número específico es siempre cero; solo los intervalos tienen probabilidad positiva.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué es el puntaje Z y cómo se calcula?

El puntaje Z indica a cuántas desviaciones estándar se encuentra un valor respecto a la media: z = (x − μ) / σ. Z = 0 significa que el valor es igual a la media; Z = 1 equivale a una desviación estándar por encima; Z = −2 equivale a dos por debajo. Los puntajes Z permiten comparar valores de distribuciones con escalas distintas, por ejemplo, calificaciones de distintas asignaturas o resultados de diferentes pruebas estandarizadas.

¿Qué significa P(X < x) en una distribución normal?

P(X < x) es la probabilidad acumulada: la probabilidad de que un valor tomado al azar de esta distribución sea menor que x. Equivale al área bajo la curva de campana a la izquierda de x. Por ejemplo, P(X < 75) = 0,69 significa que aproximadamente el 69 % de los valores de esta distribución son inferiores a 75. P(X > x) = 1 − P(X < x) cubre el área a la derecha.

¿En qué consiste la regla del 68-95-99,7 en la distribución normal?

En cualquier distribución normal, aproximadamente el 68 % de los valores se encuentra dentro de 1 desviación estándar de la media (Z entre −1 y +1), el 95 % dentro de 2 desviaciones y el 99,7 % dentro de 3. Los valores con |Z| > 3 se consideran valores atípicos: ocurren menos del 0,3 % de las veces. Esta regla se aplica ampliamente en control de calidad (criterio 3σ y Six Sigma) y en la interpretación de resultados de exámenes nacionales.

¿Cómo se obtiene el percentil a partir del puntaje Z?

El percentil es igual a P(X < x) × 100. Z = 0 corresponde al percentil 50 (exactamente la mitad de la distribución está por debajo de la media). Z = 1,28 corresponde aproximadamente al percentil 90; Z = 1,645 al percentil 95; Z = 2,326 al percentil 99. Esta calculadora calcula el percentil directamente, sin necesidad de consultar una tabla Z.