Calculadora de factorización prima

Última actualización: 2026-05-19

Factorización prima

Todo número entero mayor que 1 puede escribirse como producto de números primos. Esta representación se llama factorización prima o descomposición en factores primos. Por ejemplo:

$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

Los primos 2, 3 y 5 son los «átomos» del 360 — no pueden dividirse más. Los exponentes (3, 2 y 1) indican cuántas veces aparece cada primo en el producto.

El Teorema Fundamental de la Aritmética

El Teorema Fundamental de la Aritmética garantiza dos cosas:

1. Existencia: Todo entero mayor que 1 tiene al menos una factorización prima.
2. Unicidad: Esa factorización es única, salvo el orden de los factores.

¿Por qué el 1 no es primo? Si el 1 fuera primo, habría infinitas factorizaciones del mismo número (360 = 1 · 2³ · 3² · 5 = 1² · 2³ · 3² · 5, etc.). Excluir el 1 de los primos preserva la unicidad.

Divisiones de prueba paso a paso

El método más directo es la división de prueba: probar todos los enteros de 2 a $\sqrt{n}$ como posibles factores.

Ejemplo con n = 360:

1. ¿Divisible entre 2? Sí: 360 ÷ 2 = 180, 180 ÷ 2 = 90, 90 ÷ 2 = 45. El 45 es impar; no cabe más 2. Factor 2³.
2. ¿Divisible entre 3? Sí: 45 ÷ 3 = 15, 15 ÷ 3 = 5. El 5 no es divisible entre 3. Factor 3².
3. ¿Divisible entre 5? Sí: 5 ÷ 5 = 1. Factor 5¹.
4. El cociente es 1 — terminado. Resultado: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$.

¿Por qué basta con llegar a $\sqrt{n}$? Si n tiene un factor primo p > $\sqrt{n}$, entonces n/p < $\sqrt{n}$, por lo que debe existir un factor menor. Si no se encuentra ningún factor hasta $\sqrt{n}$, entonces n es primo.

Árbol de factores

Un árbol de factores es una forma visual de encontrar la factorización: se divide el número en dos factores cualesquiera y se repite hasta que todas las ramas terminen en primos.

         360
        /    \
       8      45
      / \    /  \
     4   2  9    5
    / \    / \
   2   2  3   3

Las hojas dan 2, 2, 2, 3, 3, 5 → 2³ · 3² · 5. Sin importar cómo se construya el árbol, siempre se llega al mismo resultado — así se verifica la unicidad de forma intuitiva.

Contar divisores con la factorización

Conocida la factorización prima, el número total de divisores positivos se obtiene con una sola fórmula:

$\tau(n) = (e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_k+1)$

¿Por qué? Cada divisor de n se forma eligiendo independientemente un exponente entre 0 y $e_i$ para cada primo $p_i$ — eso da $(e_i+1)$ opciones por primo, y las opciones se multiplican.

Divisores de 360:

$\tau(360) = (3+1)(2+1)(1+1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$

El número 360 tiene exactamente 24 divisores positivos.

MCD y MCM desde la factorización

Con las factorizaciones a mano, MCD y MCM se leen directamente:

• MCD: tomar el exponente mínimo de cada primo.
• MCM: tomar el exponente máximo de cada primo.

Ejemplo: MCD y MCM de 360 y 504

$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5, \qquad 504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$

Primo	Exp. 360	Exp. 504	mín (MCD)	máx (MCM)
2	3	3	3	3
3	2	2	2	2
5	1	0	0	1
7	0	1	0	1

$\text{MCD}(360, 504) = 2^3 \cdot 3^2 = 72, \qquad \text{MCM}(360, 504) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$

Simplificar fracciones

Para reducir $\dfrac{a}{b}$ a su forma más simple, divide numerador y denominador por $\text{MCD}(a, b)$:

$\frac{360}{504} = \frac{360 \div 72}{504 \div 72} = \frac{5}{7}$

Aplicaciones de la factorización prima

Campo	Uso
Criptografía (RSA)	La seguridad se basa en la dificultad de factorizar el producto de dos primos grandes
Tablas hash	Tamaños primos minimizan colisiones
Teoría de códigos	Polinomios generadores para códigos correctores de errores
Música (afinación justa)	Los intervalos son razones de potencias de 2, 3 y 5

Casos especiales

• n = 2 (el primo más pequeño): La factorización es 2; tiene exactamente 2 divisores.
• n es primo: Un solo factor primo; número de divisores = 2.
• Potencia de primo (ej. 1024 = 2¹⁰): Un primo con exponente grande; divisores = 11.
• Números altamente compuestos (360, 720, 1260…): Tienen más divisores que cualquier número más pequeño.

Referencia rápida

Concepto	Fórmula
Factorización	$n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$
Número de primos distintos	$\omega(n) = k$
Total de divisores	$\tau(n) = \prod (e_i + 1)$
MCD de dos números	producto con exponentes mínimos
MCM de dos números	producto con exponentes máximos
Identidad MCD × MCM	$\text{MCD}(a,b) \times \text{MCM}(a,b) = a \times b$

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué es la factorización prima de un número?

La factorización prima es la expresión de un número entero mayor que 1 como producto de números primos. Por ejemplo, 360 = 2³ · 3² · 5. El Teorema Fundamental de la Aritmética garantiza que esta descomposición es única (salvo el orden de los factores), lo que la convierte en la base de la teoría de divisibilidad.

¿Por qué la factorización prima es única?

El Teorema Fundamental de la Aritmética establece que todo entero mayor que 1 tiene exactamente una factorización prima, ignorando el orden de los factores. Esta unicidad permite definir el MCD y el MCM sin ambigüedad, y sustenta la seguridad de algoritmos criptográficos como RSA.

¿Cómo calculo el número total de divisores a partir de la factorización?

Si n = p₁^e₁ · p₂^e₂ · … · pₖ^eₖ, entonces el número de divisores positivos es τ(n) = (e₁+1)(e₂+1)…(eₖ+1). Para 360 = 2³ · 3² · 5¹, τ(360) = 4 · 3 · 2 = 24, por lo que 360 tiene exactamente 24 divisores.

¿Hasta qué número puede factorizar esta calculadora?

Esta calculadora admite enteros hasta 1.000.000.000.000 (10¹², un billón). Utiliza el método de división de prueba hasta √n, que requiere a lo sumo un millón de iteraciones, suficiente para ejecutarse rápidamente en el navegador. Para números mayores se recurre a algoritmos especializados como el método rho de Pollard o la criba cuadrática.