Resolución de ecuaciones de segundo grado

Última actualización: 2026-05-13

Ecuación cuadrática

Una ecuación de segundo grado (o ecuación cuadrática) es aquella en la que el término de mayor grado es $x^2$. Su forma canónica es:

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

Los coeficientes $a$, $b$ y $c$ son números reales. La condición $a \neq 0$ es indispensable: si $a$ fuera cero, la ecuación sería de primer grado.

La fórmula cuadrática

Las raíces de cualquier ecuación de segundo grado se obtienen mediante la fórmula cuadrática:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

El signo ± genera dos raíces:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

El discriminante

La expresión $D = b^2 - 4ac$ que aparece bajo la raíz se llama discriminante y determina la naturaleza de las raíces:

Discriminante	Tipo de raíces
$D > 0$	dos raíces reales distintas
$D = 0$	una raíz real doble
$D < 0$	dos raíces complejas conjugadas

Raíz doble (D = 0)

Cuando el discriminante es nulo, las dos raíces coinciden:

$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$

Este valor corresponde a la coordenada $x$ del vértice de la parábola asociada.

Raíces complejas (D < 0)

Si el discriminante es negativo, $\sqrt{D}$ no tiene valor real. Las raíces pasan a ser números complejos:

$x = \alpha \pm \beta i$

donde

$\alpha = -\frac{b}{2a}, \qquad \beta = \frac{\sqrt{-D}}{2|a|}$

$\alpha$ es la parte real y $\beta$ la parte imaginaria. En ecuaciones con coeficientes reales, las raíces complejas siempre aparecen en pares conjugados.

Ejemplo: $x^2 - 3x + 2 = 0$

Con $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

$x_1 = 2, \qquad x_2 = 1$

Uso de la calculadora

Introducidos los coeficientes $a$, $b$ y $c$, la calculadora determina automáticamente el discriminante y las raíces.

• Discriminante $\geq 0$: las raíces $x_1$ y $x_2$ se muestran en la sección «Raíces reales».
• Discriminante $< 0$: la parte real $\alpha$ y la parte imaginaria $\beta$ se muestran en «Raíces complejas».

Relación con la parábola

Las raíces de $ax^2 + bx + c = 0$ son las abscisas de los puntos en que la parábola $y = ax^2 + bx + c$ corta al eje $x$.

• $D > 0$: la parábola corta el eje $x$ en dos puntos distintos.
• $D = 0$: la parábola es tangente al eje $x$ (el vértice toca el eje).
• $D < 0$: la parábola no toca el eje $x$ en ningún punto real.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Qué es la fórmula cuadrática?

Para ax² + bx + c = 0, las raíces son x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a). El signo ± produce dos raíces, denominadas habitualmente x₁ (con +) y x₂ (con −). Estas raíces son los puntos de intersección de la parábola y = ax² + bx + c con el eje x.

¿Qué información aporta el discriminante?

El discriminante D = b² − 4ac determina la naturaleza de las raíces. Si D > 0, hay dos raíces reales distintas. Si D = 0, existe una única raíz real doble (x₁ = x₂ = −b ÷ 2a). Si D < 0, las raíces son complejas conjugadas y no existen raíces reales.

¿Cuáles son las raíces complejas cuando D < 0?

Cuando el discriminante es negativo, las raíces son complejas conjugadas: x = α ± βi, donde α = −b ÷ (2a) es la parte real y β = √(−D) ÷ (2|a|) es la parte imaginaria. En ecuaciones con coeficientes reales, las raíces complejas siempre aparecen en pares conjugados.