Calculadora de triángulo isósceles rectángulo (45-45-90)

Última actualización: 2026-05-18

El triángulo isósceles rectángulo (45-45-90)

Un triángulo isósceles rectángulo tiene dos ángulos iguales de 45° y un ángulo recto de 90°. Al ser isósceles, sus dos catetos son iguales; al ser rectángulo, uno de sus ángulos mide exactamente 90°. La proporción entre sus lados es $1 : 1 : \sqrt{2}$, una de las dos razones especiales más importantes en geometría, junto con $1 : \sqrt{3} : 2$ del triángulo 30-60-90.

Relación con el cuadrado

Si se traza la diagonal de un cuadrado de lado $l$, se obtienen dos triángulos isósceles rectángulos congruentes. Cada cateto coincide con el lado del cuadrado y la hipotenusa coincide con su diagonal. Por eso $\sqrt{2}$ aparece con tanta frecuencia en geometría: es la razón entre la diagonal y el lado de un cuadrado.

Fórmulas

Sea $l$ la longitud del cateto.

Magnitud	Fórmula
Hipotenusa $c$	$l\sqrt{2}$
Área $S$	$l^2 / 2$
Perímetro $P$	$l(2 + \sqrt{2})$

Dato conocido	Cateto $l$	Hipotenusa $c$	Área $S$
Desde cateto $l$	—	$l\sqrt{2}$	$l^2/2$
Desde hip. $c$	$c/\sqrt{2}$	—	$c^2/4$
Desde área $S$	$\sqrt{2S}$	$2\sqrt{S}$	—

Ejemplo resuelto

Para $l = 5$:

$c = 5\sqrt{2} \approx 7{,}071, \quad S = \frac{25}{2} = 12{,}5, \quad P = 5(2+\sqrt{2}) \approx 17{,}07$

Derivación de las fórmulas

Hipotenusa: Se aplica el teorema de Pitágoras a los catetos iguales $l$:

$c = \sqrt{l^2 + l^2} = \sqrt{2l^2} = l\sqrt{2}$

Área: La base y la altura son ambas $l$ (los catetos son perpendiculares):

$S = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l = \frac{l^2}{2}$

Desde la hipotenusa: $l = c/\sqrt{2}$, por lo que $S = l^2/2 = (c/\sqrt{2})^2/2 = c^2/4$.

Desde el área: $S = l^2/2$ implica $l = \sqrt{2S}$, y luego $c = l\sqrt{2} = \sqrt{4S} = 2\sqrt{S}$.

Propiedades adicionales

• Es el único triángulo que es simultáneamente isósceles y rectángulo.
• Radio de la circunferencia circunscrita: $R = c/2$ (el ángulo recto es un ángulo inscrito que subtiende el diámetro).
• Radio de la circunferencia inscrita: $r = l(2-\sqrt{2})/2$.

Aplicaciones

El triángulo isósceles rectángulo aparece con frecuencia en geometría y construcción. Al cortar en diagonal un cuadrado de lado $l$, cada mitad es un triángulo 45-45-90 con hipotenusa $l\sqrt{2}$. En dibujo técnico y carpintería, la escuadra de 45° es precisamente este triángulo. En trigonometría, los valores exactos $\sin 45° = \cos 45° = \tfrac{\sqrt{2}}{2}$ y $\tan 45° = 1$ se derivan directamente de la razón $1 : 1 : \sqrt{2}$.

Para verificar o ampliar la relación pitagórica, véase la la Calculadora del Teorema de Pitágoras. Para el cálculo del área de triángulos en general, véase la la Calculadora de área de triángulo.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cuál es la relación entre los lados de un triángulo 45-45-90?

Un triángulo 45-45-90 tiene dos catetos iguales y una hipotenusa. La razón entre ellos es cateto : cateto : hipotenusa = 1 : 1 : √2. Si cada cateto mide l, la hipotenusa vale l√2 ≈ 1,414l. Por ejemplo, con cateto = 5, la hipotenusa es 5√2 ≈ 7,071. Este triángulo aparece de forma natural al cortar un cuadrado por su diagonal: cada mitad es un triángulo isósceles rectángulo congruente.

¿Cómo se calcula la hipotenusa de un triángulo isósceles rectángulo conociendo los catetos?

Se aplica el teorema de Pitágoras: c = √(l² + l²) = √(2l²) = l√2. Para l = 5: c = 5√2 ≈ 7,071. El área es S = l²/2 (base e altura coinciden con l) y el perímetro es P = 2l + l√2 = l(2 + √2) ≈ 3,414l.

¿Cómo se obtienen los catetos de un triángulo isósceles rectángulo a partir de la hipotenusa?

Despejando de l√2 = c se obtiene l = c ÷ √2 = c√2 ÷ 2. Para c = 10: l = 10 ÷ √2 ≈ 7,071. El área es S = c²/4 (ya que S = l²/2 = (c/√2)²/2 = c²/4) y el perímetro es P = c(1 + √2) ≈ 2,414c.