Calculadora de triángulos (LAL) — Dos lados y ángulo comprendido

Última actualización: 2026-05-18

Resolver un triángulo a partir de dos lados y el ángulo comprendido (LAL)

El caso LAL (Lado-Ángulo-Lado) surge cuando se conocen dos lados y el ángulo entre ellos. Con el teorema del coseno se calcula primero el tercer lado y después los ángulos restantes, el área, el circunradio y el inradio.

Cálculo del tercer lado

Si se conocen los lados $a$ y $b$ y el ángulo comprendido $C$, el tercer lado $c$ (opuesto a $C$) es:

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$

Ejemplo — $a = 5$, $b = 7$, $C = 60°$:

$c = \sqrt{25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60°} = \sqrt{74 - 35} = \sqrt{39} \approx 6{,}245$

Cuando $C = 90°$, $\cos 90° = 0$ y la fórmula se convierte en el teorema de Pitágoras.

Área desde LAL

El área se puede calcular directamente a partir de los dos lados y el ángulo sin necesidad de calcular $c$ primero:

$S = \frac{1}{2}\,ab\sin C$

Para el ejemplo anterior: $S = \tfrac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \sin 60° = \tfrac{35\sqrt{3}}{4} \approx 15{,}155$.

Ángulos restantes

Una vez calculado $c$, se aplica de nuevo el teorema del coseno para encontrar el ángulo $A$:

$A = \arccos\!\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

Luego $B = 180° - A - C$.

La ley de los senos ($A = \arcsin(a\sin C \div c)$) también sirve, pero la forma con coseno es más segura porque evita la ambigüedad del arcoseno para ángulos obtusos.

Circunradio e inradio

Con los tres lados y el área conocidos:

$R = \frac{abc}{4S}, \qquad r = \frac{S}{s} \quad\text{donde } s = \frac{a+b+c}{2}$

Para el triángulo rectángulo 3-4-5 ($a = 3$, $b = 4$, $C = 90°$): $c = 5$, $S = 6$, $R = 2{,}5$, $r = 1$.

LAL frente a LLL

Conocido	Buscar	Método
LLL (3 lados)	Todos los ángulos	Teorema del coseno (3 veces) + fórmula de Herón
LAL (2 lados + ángulo comprendido)	3.er lado, luego ángulos	Teorema del coseno → LLL

Elige LAL cuando el ángulo se mide directamente con un transportador o teodolito. Una vez calculado el tercer lado, el problema se convierte en LLL.

El caso ambiguo (LLA) — no es LAL

LAL exige que el ángulo esté entre los dos lados conocidos. Si el ángulo no está entre ellos, se tiene el caso LLA (ambiguo), que puede tener cero, una o dos soluciones. Esta calculadora resuelve únicamente el caso LAL, que es siempre unívoco.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cómo se calcula el tercer lado de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo entre ellos?

Se aplica el teorema del coseno: c² = a² + b² − 2ab cos C. Por ejemplo, con a = 5, b = 7, C = 60°: c² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × cos 60° = 74 − 35 = 39, por lo que c = √39 ≈ 6,245. Cuando C = 90°, la fórmula se reduce al teorema de Pitágoras.

¿Qué es el criterio LAL en trigonometría?

LAL (Lado-Ángulo-Lado) significa que se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Es uno de los criterios de congruencia triangular: dos triángulos son congruentes si comparten la misma configuración LAL. Si el ángulo no está entre los dos lados conocidos, se tiene el caso ambiguo LLA, donde puede haber 0, 1 o 2 soluciones.

¿Cómo se hallan todos los ángulos después de resolver el caso LAL?

Una vez calculado el tercer lado c, se aplica de nuevo el teorema del coseno: A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2bc)), y después B = 180° − A − C. También puede usarse la ley de los senos: A = arcsin(a sin C ÷ c), pero la forma con coseno es más segura porque evita la ambigüedad del arcoseno para ángulos obtusos.

¿Cuándo conviene usar LAL y cuándo LLL?

Usa LLL cuando conoces los tres lados. Usa LAL cuando conoces dos lados y el ángulo comprendido; primero calcula el tercer lado con el teorema del coseno y luego resuelve como en LLL. En la práctica, LAL es habitual cuando el ángulo se mide directamente con un transportador o teodolito, mientras que LLL surge cuando los tres lados son medibles físicamente.