Calculadora de Triángulo (LLL) — Tres Lados

Última actualización: 2026-05-18

Triángulo LLL (tres lados conocidos)

El caso LLL (lado-lado-lado) es la configuración en que los tres lados de un triángulo son conocidos. Dados tres valores positivos que satisfacen la desigualdad triangular, queda determinado un único triángulo (salvo congruencia). La ley de cosenos permite obtener los tres ángulos interiores, y la fórmula de Herón calcula el área directamente a partir de los lados, sin necesidad de conocer los ángulos.

La ley de cosenos

Para un triángulo con lados $a$, $b$, $c$ y ángulos opuestos $A$, $B$, $C$:

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

De donde $A = \arccos\!\left(\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$. Se repite para $B$ y luego $C = 180° - A - B$.

Ejemplo — el triángulo 3-4-5:

$A = \arccos\!\left(\frac{16 + 25 - 9}{40}\right) = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}87°$

$B = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}13°, \quad C = 90°$

Desigualdad triangular

No cualquier combinación de tres longitudes forma un triángulo. Se debe cumplir:

$a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b$

Los valores 1, 2 y 10 no forman triángulo porque $1 + 2 = 3 < 10$.

Área con la fórmula de Herón

Una vez validados los lados, el área se calcula sin necesitar los ángulos. Primero el semiperímetro:

$s = \frac{a + b + c}{2}$

Luego la fórmula de Herón:

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Para el 3-4-5: $s = 6$, $S = \sqrt{36} = 6$.

Circunradio e inradio

Circunradio $R$ (círculo que pasa por los tres vértices):

$R = \frac{abc}{4S}$

Inradio $r$ (círculo inscrito tangente a los tres lados):

$r = \frac{S}{s}$

Para el 3-4-5: $R = 60/24 = 2{,}5$ y $r = 1$.

En cualquier triángulo rectángulo, $R = c/2$ (la mitad de la hipotenusa), lo que sirve de comprobación rápida.

Conexión con el teorema de Pitágoras

Cuando $C = 90°$, $\cos 90° = 0$ y la ley de cosenos se reduce a $c^2 = a^2 + b^2$: el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de cosenos.

Ternas pitagóricas comunes

a	b	c	Área
3	4	5	6
5	12	13	30
8	15	17	60
7	24	25	84

Cualquier múltiplo entero de una terna también es una terna pitagórica.

Preguntas frecuentes (FAQ)

¿Cómo se calculan los ángulos de un triángulo conociendo sus tres lados?

Se usa la ley de cosenos: cos A = (b² + c² − a²) ÷ (2bc), por lo que A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2bc)). Se repite para B y se obtiene C = 180° − A − B. Ejemplo con lados 3, 4 y 5: A = arccos(32/40) ≈ 36,87°, B ≈ 53,13°, C = 90°.

¿Qué es la ley de cosenos y cuándo se aplica?

La ley de cosenos generaliza el teorema de Pitágoras a cualquier triángulo: c² = a² + b² − 2ab cos C. Se aplica en el caso LLL (tres lados) para encontrar ángulos, y en el caso LAL (dos lados y ángulo comprendido) para encontrar el tercer lado. Cuando C = 90°, cos 90° = 0 y la fórmula se reduce al teorema de Pitágoras.

¿Cómo se calculan el circunradio y el inradio a partir de los tres lados?

El circunradio R (radio del círculo que pasa por los tres vértices): R = abc ÷ (4S). El inradio r (radio del círculo inscrito): r = S ÷ s, con s = (a + b + c) ÷ 2. Para el triángulo 3-4-5: S = 6, R = 60 ÷ 24 = 2,5 y r = 6 ÷ 6 = 1.

¿Cualquier tres longitudes forman un triángulo?

No. La desigualdad triangular exige que cada lado sea menor que la suma de los otros dos: a + b > c, b + c > a y a + c > b. Por ejemplo, 1, 2 y 10 no forman triángulo porque 1 + 2 = 3 < 10. Cuando se da la igualdad (p. ej., 1, 2 y 3), el triángulo es degenerado y tiene área cero.

¿En qué se diferencia el método LLL de la fórmula de Herón?

La fórmula de Herón solo calcula el área a partir de los tres lados. El método LLL (ley de cosenos) también determina todos los ángulos y los radios del circuncírculo e incírculo. En la práctica se combinan: primero el área con Herón y luego R = abc ÷ (4S) y r = S ÷ s.