最後更新：2026-07-01

放射性衰變

放射性衰變是不穩定原子核自發崩解的現象。每個原子核在隨機時刻衰變，但單位時間內的機率固定，因此大量原子核的集合會以平滑而可預測的方式減少。這種集體行為由指數衰變定律描述：

$$N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$$

本計算器以初始量 $N_0$、半衰期 $t_{1/2}$ 與經過時間 $t$ 為輸入，回傳剩餘量 $N$、衰變常數 $\lambda$、剩餘比例，以及已經過的半衰期次數。

模型如何運作

兩個常數用不同語言描述同一個衰變。半衰期 $t_{1/2}$ 是樣品減少一半所需的時間；衰變常數 $\lambda$ 是單一原子核在單位時間內衰變的機率。在指數定律中令 $N/N_0 = \tfrac{1}{2}$，即可得到兩者的關係：

$$\tfrac{1}{2} = e^{-\lambda t_{1/2}} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$$

由於每過一個半衰期剩餘量便減半，這個定律可改寫成明確表現「減半」的形式。設已經過的半衰期次數為 $n = t / t_{1/2}$：

$$N = N_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}$$

兩種形式完全相同。指數 $e^{-\lambda t}$ 能平滑處理任何經過時間，而 $(\tfrac{1}{2})^{n}$ 的形式在 $n$ 為整數時更易讀。

公式

物理量	符號	定義
剩餘量	$N$	$N = N_0\,e^{-\lambda t}$
衰變常數	$\lambda$	$\lambda = \ln 2 / t_{1/2}$
剩餘比例	$f$	$f = N / N_0 = (\tfrac{1}{2})^{n}$
已經過半衰期	$n$	$n = t / t_{1/2}$
活度	$A$	$A = \lambda N$

剩餘比例只取決於半衰期次數 $n$，與起始量無關，因此百分比是最通用的表示方式。

範例演算

某樣品一開始有半衰期 $t_{1/2} = 10$ 年的同位素 $N_0 = 1000$ 個。經過 $t = 25$ 年後還剩多少？

步驟 1 — 衰變常數：

$$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0.6931}{10\ \text{年}} \approx 0.06931\ \text{年}^{-1}$$

步驟 2 — 已經過半衰期：

$$n = \frac{t}{t_{1/2}} = \frac{25}{10} = 2.5$$

步驟 3 — 剩餘量：

$$N = N_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} = 1000\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2.5} \approx 177\ \text{個}$$

步驟 4 — 剩餘比例：

$$f = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2.5} \approx 0.1768 = 17.68\%$$

25 年後，原本 1000 個中約有 177 個尚未衰變。

整數個半衰期後的剩餘比例

半衰期 $n$	剩餘比例	百分比
0	1	100%
1	1/2	50%
2	1/4	25%
3	1/8	12.5%
4	1/16	6.25%
10	1/1024	0.098%

活度：衰變的速率

樣品的活度是單位時間內的衰變次數 $A = \lambda N$，以貝克（1 Bq = 每秒一次衰變）或居里（1 Ci = 3.7 × 10¹⁰ Bq）為單位。由於它與剩餘原子核數成正比，會依循相同半衰期的指數曲線：活度降到原來一半的射源，不論是哪種同位素，都恰好經過了一個半衰期。

實務意義

衰變定律是放射性定年的基礎。在放射性碳定年中，曾經活著的樣品在死亡後停止吸收碳-14，之後碳-14 以 5730 年的半衰期衰變。量測剩餘比例並對 $t$ 解 $N = N_0\,e^{-\lambda t}$，即可得到年代：碳-14 只剩 25% 的樣品已經過兩個半衰期，約 11,460 年。同樣的數學也用來訂定醫用同位素的給藥排程、決定核廢料的貯存時間，並以鈾和鉀同位素校準地質學的長時標時鐘。

限制：單一衰變途徑與大樣品

指數定律假設衰變常數固定的單一衰變途徑，以及大到足以讓統計平均成立的樣品。它本身無法追蹤衰變鏈——某次衰變的產物本身也具放射性並部分補回損失的量；這類情況需要耦合的貝特曼方程式。對於衰變成穩定產物的單一同位素，以及遠多於少數幾個原子的樣品，上述公式是精確的。

常見問題（FAQ）

什麼是放射性衰變？

放射性衰變是不穩定的原子核自發轉變為另一種原子核或能量狀態，並在過程中釋放輻射。由於每個原子核在隨機時刻衰變，但單位時間內的機率固定，因此大量原子核組成的樣品會遵循平滑的指數定律：N(t) = N₀·e^(−λt)。

這種衰變沒有記憶——尚未衰變的原子核並不會比新的原子核更「該」衰變——所以存留比例只取決於經過時間，而非樣品的歷史。

半衰期與衰變常數有什麼關係？

半衰期 t½ 是樣品衰變掉一半所需的時間；衰變常數 λ 是單一原子核在單位時間內衰變的機率。兩者是同一現象的不同描述，由 λ = ln2 / t½ 相連（ln2 ≈ 0.6931）。

半衰期短對應衰變常數大（衰變快），半衰期長則衰變常數小。由於 λ = ln2 / t½，半衰期加倍時衰變常數會減半。

樣品的活度是什麼？

活度 A 是衰變發生的速率，A = λN，以貝克（1 Bq = 每秒一次衰變）或居里（1 Ci = 3.7 × 10¹⁰ Bq）為單位。由於它與剩餘原子核數 N 成正比，活度本身也以相同的半衰期呈指數衰減：A(t) = A₀·e^(−λt)。

若要用本計算器估算活度，請在 N 以原子核數表示時，將衰變常數 λ 乘以剩餘量 N。

放射性碳定年如何運用這一點？

生物在存活時維持固定的碳-14 與碳-12 比值。生物死亡後便停止攝取碳-14，之後碳-14 以約 5730 年的半衰期衰變。量測剩餘的碳-14 並對經過時間 t 解 N = N₀·e^(−λt)，即可得到樣品的年代。

例如，某樣品的碳-14 只剩原來的 25%，代表已經過兩個半衰期，因此年代約為 2 × 5730 ≈ 11,460 年。