آخر تحديث: 2026-07-01

معادلة برنولي

تربط معادلة برنولي بين ضغط المائع المتدفق وسرعته وارتفاعه. وهي تعبّر عن حفظ الطاقة على طول خط الانسياب: عندما يتسارع المائع أو يرتفع، يجب أن ينخفض ضغطه للحفاظ على ثبات الطاقة الكلية لكل وحدة حجم. تشكّل هذه العلاقة أساس تأثير فنتوري، وقياس السرعة بأنبوب بيتو، وجزء كبير من الهيدروليكا في الحياة اليومية.

المعادلة

لتدفق مستقر وغير قابل للانضغاط وغير لزج على طول خط انسياب واحد، يكون مجموع ثلاثة حدود ثابتًا:

$P + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{ثابت}$

ومكتوبة بين نقطتين، النقطة 1 (أعلى المجرى) والنقطة 2 (أسفل المجرى):

$P_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$

كل حدّ هو ضغط (طاقة لكل وحدة حجم): $P$ هو الضغط الساكن، و$\tfrac{1}{2}\rho v^2$ هو الضغط الديناميكي، و$\rho g h$ هو حدّ الجاذبية (الارتفاع). وبحلّ المعادلة لإيجاد الضغط أسفل المجرى نحصل على الصيغة التي تستخدمها هذه الحاسبة:

$P_2 = P_1 + \tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^2 - v_2^2\right) + \rho g\left(h_1 - h_2\right)$

جدول الرموز

مثال محلول

تأثير فنتوري

عندما يمر المائع عبر تضيّق، يفرض حفظ الكتلة (الاستمرارية) أن $A_1 v_1 = A_2 v_2$، فيضطر المائع إلى التسارع في المقطع الضيق. عندئذٍ تفرض معادلة برنولي انخفاض الضغط الساكن هناك. هذا الانخفاض في الضغط عند تضيّق هو تأثير فنتوري، ويُستغل في عدادات التدفق من نوع فنتوري (التي تستنتج معدل التدفق من فرق الضغط المقيس)، وفي المكربنات (التي تسحب الوقود إلى الحلق منخفض الضغط)، وفي أجهزة الشفط.

حدس قوة الرفع

الهواء الذي يتحرك بسرعة أكبر فوق السطح العلوي المنحني للجناح يكون ضغطه الساكن أقل من الهواء الأبطأ تحته، ويسهم هذا الفرق في قوة الرفع. وهو حدس مفيد، لكنه جزء من الصورة فقط: فالوصف الكامل لقوة الرفع يتطلب أيضًا انحراف الهواء إلى الأسفل والدوران حول الجناح. تفسّر معادلة برنولي فرق الضغط، لا المنشأ الكامل للقوة.

الافتراضات والحدود

معادلة برنولي دقيقة فقط لتدفق مستقر وغير قابل للانضغاط وغير لزج، مُقيَّم على طول خط انسياب واحد دون مضخات أو توربينات أو تبادل حراري بين النقطتين. تفقد التدفقات الحقيقية طاقتها بالاحتكاك والاضطراب؛ وفي الأنابيب الطويلة تُؤخذ هذه الخسائر في الحسبان بإضافة حدّ لفقد الضاغط. وبالنسبة للغازات فوق نحو ماخ 0.3 ينهار افتراض عدم الانضغاط وتلزم علاقات قابلة للانضغاط. لكن ضمن افتراضاتها تظل المعادلة أداة دقيقة بدرجة ملحوظة وواسعة الاستخدام.