آخر تحديث: 2026-07-01

حاسبة المتذبذب كتلة-نابض (الحركة التوافقية البسيطة)

الكتلة المثبّتة على نابض هي المثال الكلاسيكي على الحركة التوافقية البسيطة. إذا أزحت الكتلة جانباً ثم أفلتها، يعيدها النابض بقوة تتناسب مع مقدار إزاحتها — وهذا قانون هوك $F = -kx$. تجعل قوة الاستعادة الخطّية هذه الكتلة تتذبذب ذهاباً وإياباً بإيقاع ثابت يحدّده كمّيتان فقط: الكتلة $m$ وثابت النابض $k$.

تُعيد هذه الحاسبة الزمن الدوري $T$ (زمن دورة كاملة واحدة)، والتردد $f$ (عدد الدورات في الثانية)، والتردد الزاوي $\omega$ (بالراديان في الثانية) انطلاقاً من الكتلة وثابت النابض.

ما الذي يضبط الإيقاع

يتسارع الاهتزاز عندما يكون النابض صلباً، ويتباطأ عندما تكون الكتلة كبيرة:

لأنّ الكمّيتين تقعان تحت جذر تربيعي، فإنّ تأثيرهما لطيف: مضاعفة الكتلة أربع مرات تضاعف الزمن الدوري مرتين فقط، ومضاعفة الصلابة أربع مرات تنصّفه فقط. لاحظ أنّ الجاذبية لا تظهر في أيّ موضع — يتذبذب النابض الأفقي والنابض الرأسي بالإيقاع نفسه تماماً، ويحفظ النظام الوقت بدقّة حتى في المدار. ولهذا تضبط زنبركة التوازن، لا البندول، ساعة اليد.

المعادلة

مثال محلول

كتلة مقدارها 0.5 kg تستقرّ على نابض صلابته 20 N/m. التردد الزاوي هو:

الزمن الدوري هو دورة كاملة واحدة:

والتردد هو مقلوبه، $f = 1/T = 1.007$ Hz — أيْ أكثر بقليل من اهتزازة كاملة في الثانية. إدخال كتلة 0.5 kg وثابت نابض 20 N/m يعيد إنتاج هذه النتائج.

الكتلة-النابض مقابل البندول

نظام الكتلة-النابض والبندول البسيط كلاهما متذبذب توافقي بسيط، ولكليهما زمن دوري على الصورة $2\pi\sqrt{\text{العطالة}/\text{شدّة الاستعادة}}$. الفرق هو ما الذي يوفّر قوة الاستعادة. يُعاد البندول بفعل الجاذبية، فيتوقف زمنه الدوري $2\pi\sqrt{L/g}$ على الطول والجاذبية المحلية. أما النابض فيوفّر قوة الاستعادة بنفسه، فيتوقف زمنه الدوري $2\pi\sqrt{m/k}$ على الكتلة والصلابة ولا يتأثر بالجاذبية. ويشترك الاثنان في السمة الأعمق لكل متذبذب توافقي بسيط: الزمن الدوري لا يتوقف على السعة.

الطاقة في الاهتزاز

أثناء تذبذب الكتلة، تنتقل الطاقة بين صورتين. عند الطرفين تكون الكتلة ساكنة لحظياً وتكون الطاقة كلّها مخزّنة مرونياً في النابض، $\tfrac{1}{2}kA^2$، حيث $A$ هي السعة. وعند النقطة الوسطى يكون النابض في وضع الراحة وتكون الطاقة كلّها حركية، $\tfrac{1}{2}mv_\text{max}^2$. في نظام مثالي خالٍ من الاحتكاك يبقى المجموع ثابتاً وتتبادل الصورتان مكانيهما مرتين في كل دورة.

القيود

تفترض المعادلات نابضاً مثالياً يخضع لقانون هوك على كامل مدى الحركة، ونابضاً عديم الكتلة، وغياب الاحتكاك ومقاومة الهواء. للنابض الحقيقي كتلة خاصة به تخفض التردد قليلاً، ويقلّص الإخماد السعة تدريجياً دون أن يغيّر الزمن الدوري كثيراً عندما يكون ضعيفاً. وإذا استُطيل النابض حتى لم يعد يستجيب خطّياً، فلم تعد الحركة توافقية بسيطة ولم تعد هذه النتائج منطبقة.