آخر تحديث: 2026-07-13

قانون كبلر الثالث

يربط قانون كبلر الثالث بين الأمور الثلاثة التي تصف المدار: البُعد عن الجسم الذي يُدار حوله، وكتلة ذلك الجسم المركزي، والزمن الذي تستغرقه دورة واحدة. وبصيغة نيوتن يُكتب $T^2 = 4\pi^2 a^3/(GM)$ — أي أن مربع الدور يتزايد مع مكعب البُعد. تعيد هذه الحاسبة ترتيب هذه العلاقة الواحدة بثلاث طرق، فتجد الدور انطلاقًا من بُعدٍ وكتلة، أو تستعيد البُعد المداري من دورٍ معلوم، أو حتى تزن الجسم المركزي انطلاقًا من مدارٍ مقيس.

الصيغة وأشكالها الثلاثة

هنا $a$ هو نصف المحور الأكبر (متوسط بُعد المدار، وهو نصف القطر ببساطة في المدار الدائري)، و$M$ كتلة الجسم المدار حوله، و$G = 6.674\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ ثابت الجذب العام. ولا تظهر كتلة الجسم الدائر نفسه أبدًا: فذرة غبار وقمرٌ على البُعد نفسه من النجم نفسه يستغرقان الزمن نفسه تمامًا لإتمام الدورة.

اختصار وحدات النظام الشمسي

إن سهولة استعمال قانون كبلر الثالث للكواكب ترجع إلى اختيارٍ موفَّق للوحدات. قِس البُعد بـالوحدات الفلكية (1 AU هو بُعد الأرض عن الشمس)، والكتلة بـالكتل الشمسية (1 M☉ هي كتلة الشمس)، والزمن بـالسنوات، فتصبح الكتلة $4\pi^2/(GM)$ مساوية $1/M$. عندها يصير القانون:

حيث $T$ بالسنوات، و$a$ بالوحدات الفلكية، و$M$ بالكتل الشمسية. وهذه هي الصيغة التي تستعملها الحاسبة داخليًا، ولذلك تعطي قيمها الافتراضية — مدار الأرض — نتيجةً أنيقة.

مثال محلول: الأرض حول الشمس

بالنسبة إلى الأرض، نصف المحور الأكبر $a = 1\ \text{AU}$ والكتلة المركزية $M = 1\ \text{M}_\odot$:

ولو أدخلنا الأرقام نفسها بوحدات النظام الدولي الكاملة — $a = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$، $M = 1.989\times10^{30}\ \text{kg}$ — في $T = 2\pi\sqrt{a^3/GM}$، لحصلنا على نحو $3.156\times10^{7}\ \text{s}$، أي سنة واحدة إلا كسرًا ضئيلًا من واحد بالمئة. فصيغة الوحدة الفلكية لا تفعل سوى إخفاء الحساب.

مثال محلول: الكواكب الخارجية

إن التناسب مع $a^3$ هو سبب بطء حركة النظام الشمسي الخارجي. يقع المشتري على بُعد نحو $a = 5.20\ \text{AU}$، ومن ثمّ

وهو ما يوافق دور المشتري الحقيقي البالغ 11.86 سنة. أما نبتون، على بُعد نحو 30 AU، فيحتاج إلى $\sqrt{30^3} \approx 164$ سنة لدورة واحدة حول الشمس — فسنةٌ نبتونية واحدة أطول من المدة التي عُرف فيها الكوكب علميًا.

وزن نجم

بالعكس، يُعدّ قانون كبلر الثالث من أهم أدوات علم الفلك: فهو يقيس كتلةً لا يمكنك أبدًا وضعها على ميزان. فإذا رصدت جسمًا رفيقًا يدور — كوكبًا حول نجم، أو نجمًا حول ثقب أسود — وقِست دوره ونصف محوره الأكبر، فإن $M = 4\pi^2 a^3/(GT^2)$ يعطي كتلة ما يُدار حوله. بهذه الطريقة حُدِّدت كتلة الشمس، وكتل النجوم المضيفة للكواكب الخارجية، وكتلة الثقب الأسود فائق الكتلة في مركز مجرة درب التبانة.

الافتراضات والحدود

يفترض القانون بصيغته المستعملة هنا أن أحد الجسمين أضخم بكثير من الآخر، بحيث يظل الجسم المركزي ثابتًا فعليًا بينما يدور حوله الأصغر. أما إذا تقاربت الكتلتان — كالنجم الثنائي مثلًا — فإن $M$ في الصيغة هي مجموع الكتلتين، ويدور الجسمان كلاهما حول مركز كتلتهما المشترك. كما أن النتيجة هي القيمة المثالية لجسمين اثنين: فهي تتجاهل جذب الكواكب الأخرى، والتفلطح الطفيف للأجسام الحقيقية، والتأثيرات النسبية، وكلها تُحدث انحرافات صغيرة بطيئة في المدارات الحقيقية على مدى أزمنة طويلة.