حاسبة معادلة هاجن-بوازوي

نصف قطر الأنبوب	5 مم
فرق الضغط	10 kPa
اللزوجة الديناميكية	1 mPa·s
طول الأنبوب	1 م

نصف قطر الأنبوب

5 مم

فرق الضغط

10 kPa

اللزوجة الديناميكية

1 mPa·s

طول الأنبوب

1 م

حاسبة معادلة هاجن-بوازوي

احسب معدل التدفق الحجمي لمائع لزج خلال أنبوب مستقيم دائري المقطع باستخدام معادلة هاجن-بوازوي. أدخل نصف قطر الأنبوب وفرق الضغط واللزوجة الديناميكية وطول الأنبوب للحصول على معدل التدفق في النظام الصفائحي.

آخر تحديث: 2026-07-01

معادلة هاجن-بوازوي

تصف معادلة هاجن-بوازوي كيفية جريان مائع لزج خلال أنبوب ضيق. وتربط معدل التدفق الحجمي بالضغط الذي يدفع المائع، وبالمقاومة الناتجة عن لزوجته، وبهندسة الأنبوب. وهي علاقة أساسية في الهيدروليكا والهندسة الكيميائية والموائع الدقيقة وفي فسيولوجيا الدورة الدموية.

المعادلة

للجريان المستقر الصفائحي غير القابل للانضغاط لمائع نيوتوني خلال أنبوب طويل مستقيم ذي مقطع دائري، يكون معدل التدفق الحجمي:

$Q = \frac{\pi\, r^4\, \Delta P}{8\, \mu\, L}$

حيث $Q$ معدل التدفق، و $r$ نصف القطر الداخلي، و $\Delta P$ فرق الضغط بين طرفي الأنبوب، و $\mu$ اللزوجة الديناميكية، و $L$ طول الأنبوب. يزداد معدل التدفق مع الضغط الدافع ومع القوة الرابعة لنصف القطر، وينقص مع زيادة اللزوجة أو الطول.

جدول الرموز

المقدار	الرمز	ملاحظات
معدل التدفق الحجمي	$Q$	الناتج، الحجم في وحدة الزمن
نصف قطر الأنبوب	$r$	نصف القطر الداخلي؛ يدخل بالصورة $r^4$
فرق الضغط	$\Delta P$	الهبوط بين المدخل والمخرج
اللزوجة الديناميكية	$\mu$	مقاومة المائع للقص
طول الأنبوب	$L$	طول المقطع المستقيم

مثال محلول

يجري ماء عند 20 درجة مئوية خلال أنبوب مستقيم نصف قطره الداخلي 5 مم وطوله 1 م. ويؤثر على الأنبوب فرق ضغط قدره 10 كيلوباسكال. لزوجة الماء الديناميكية نحو 0.001 باسكال·ثانية. فما معدل التدفق؟

$Q = \frac{\pi\, (0.005)^4\, (10{,}000)}{8\, (0.001)\, (1)}$

$Q = \frac{\pi \times 6.25\times10^{-10} \times 10{,}000}{0.008} = 2.454\times10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}$

معدل التدفق نحو 2.454 لتر/ثانية.

يجري ماء عند 20 درجة مئوية خلال أنبوب مستقيم نصف قطره الداخلي 5 مم وطوله 1 م تحت فرق ضغط قدره 10 كيلوباسكال، بلزوجة 0.001 باسكال·ثانية. ويجري الحساب بوحدات النظام الدولي الأساسية:

$Q = \frac{\pi\, (0.005)^4\, (10{,}000)}{8\, (0.001)\, (1)} = 2.454\times10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}$

بالتحويل إلى الوحدات الأمريكية، يكون معدل التدفق نحو 38.9 غالون/دقيقة.

الاعتماد على القوة الرابعة لنصف القطر

أبرز سمات المعادلة أن معدل التدفق يتناسب مع $r^4$ . ولذلك يكون نصف القطر أهم أبعاد الأنبوب:

مضاعفة نصف القطر تضرب معدل التدفق في $2^4 = 16$ .
خفضه إلى النصف يجعله $1/16$ من القيمة الأصلية.
نقص نصف القطر بنسبة 10٪ يخفض معدل التدفق بنحو 34٪.

تفسر هذه الحساسية سبب التأثير الكبير لتضيق الشرايين على تدفق الدم، وسبب فقدان أنبوب مسدود قليلًا لمعظم قدرته على النقل، وسبب حاجة قنوات الموائع الدقيقة إلى أبعاد مضبوطة بدقة. كما تعني أن قياس نصف القطر يهيمن على عدم اليقين في أي حساب، لأن خطأ قياس صغيرًا يتضخم بالقوة الرابعة.

نطاق التطبيق وحدوده

تفترض المعادلة جريانًا صفائحيًا، أي طبقات مائع منتظمة تنزلق إحداها فوق الأخرى. ويتحكم عدد رينولدز في بقاء الجريان صفائحيًا؛ ففي الجريان الأنبوبي يبدأ الانتقال إلى الاضطراب قرب عدد رينولدز 2300. وفوق ذلك يزيد الخلط الفوضوي من المقاومة وتنهار العلاقة الخطية بين الضغط والتدفق، فيُستخدم نموذج تجريبي مثل معادلة دارسي-فايسباخ.

أما الافتراضات الأخرى فهي مائع نيوتوني (لزوجة ثابتة)، وعدم الانضغاط، ومقطع دائري ثابت، وشرط عدم الانزلاق عند الجدار، وملمح سرعة مكتمل التطور. ويتطلب الشرط الأخير أن يكون الأنبوب طويلًا مقارنة بقطره حتى تكون تأثيرات المدخل قرب الفوهة مهملة. والدم على وجه الخصوص مائع غير نيوتوني، لذا لا تقدم المعادلة سوى تقريب أولي للجريان الفسيولوجي.

أدوات ذات صلة

للتحقق من صحة افتراض الجريان الصفائحي، يمكن حساب عدد رينولدز للجريان. ولتحويل اللزوجة بين وحدات مثل البواز والسنتي بواز والباسكال·ثانية، يفيد محول اللزوجة. ولربط الضغط والسرعة والارتفاع في جريان مثالي (عديم اللزوجة)، تكون معادلة برنولي العلاقة المكملة.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما معادلة هاجن-بوازوي؟

تعطي معادلة هاجن-بوازوي معدل التدفق الحجمي لمائع لزج في تدفق صفائحي خلال أنبوب مستقيم دائري المقطع: Q = πr⁴ΔP /(8μL). حيث Q معدل التدفق، وr نصف القطر الداخلي، وΔP فرق الضغط الذي يحرك التدفق، وμ اللزوجة الديناميكية، وL طول الأنبوب.

تُشتق من معادلات نافييه-ستوكس لملمح سرعة مكافئ مكتمل التطور، وسُميت باسم غوتهيلف هاجن وجان ليونار ماري بوازوي اللذين درساها في أربعينيات القرن التاسع عشر.

متى تنطبق معادلة هاجن-بوازوي؟

تنطبق على التدفق المستقر الصفائحي غير القابل للانضغاط لمائع نيوتوني في أنبوب طويل مستقيم ذي مقطع دائري ثابت، مع شرط عدم الانزلاق عند الجدار وملمح سرعة مكتمل التطور. وهي تهمل تأثيرات المدخل، لذا يجب أن يكون الأنبوب طويلًا مقارنة بقطره.

ويجب أن يكون التدفق صفائحيًا، وهو ما يعني عادةً في الأنابيب عدد رينولدز أقل من نحو 2300. وخارج هذه الشروط يلزم نموذج مصحح أو اضطرابي.

لماذا يؤثر نصف قطر الأنبوب إلى هذا الحد؟

يتناسب معدل التدفق مع القوة الرابعة لنصف القطر (r⁴)، لذا فإن نصف القطر هو المتغير الأكثر تأثيرًا بفارق كبير. مضاعفة نصف القطر تزيد معدل التدفق ستة عشر ضعفًا، وتصنيفه إلى النصف يخفضه إلى جزء من ستة عشر.

يفسر هذا الاعتماد القوي لماذا يقلل ضيق طفيف في وعاء دموي أو أنبوب من التدفق بشدة، ولماذا يكون قياس نصف القطر بدقة أمرًا أساسيًا.

ماذا يحدث حين يصبح التدفق اضطرابيًا؟

معادلة هاجن-بوازوي صالحة للتدفق الصفائحي فقط. مع تزايد فرق الضغط أو نصف القطر يرتفع عدد رينولدز، وفوق نحو 2300 في الأنبوب ينتقل التدفق إلى الاضطراب، حيث يزيد الخلط الفوضوي من المقاومة. في هذا النظام تنهار العلاقة الخطية بين الضغط والتدفق، وتُستخدم علاقات تجريبية مثل معادلة دارسي-فايسباخ مع معامل احتكاك.

حاسبة معادلة هاجن-بوازوي

المدخلات

حاسبة معادلة هاجن-بوازوي

تضمين هذه الآلة الحاسبة

مشاركة هذه العملية الحسابية

التالي الموصى به

حاسبة عدد رينولدز

محوّل اللزوجة الديناميكية

حاسبة معادلة برنولي

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟

لا، تحتاج إلى تحسين

حاسبة معادلة هاجن-بوازوي

المدخلات

المدخلات

النتائج

معادلة هاجن-بوازوي

المعادلة

جدول الرموز

مثال محلول

الاعتماد على القوة الرابعة لنصف القطر

نطاق التطبيق وحدوده

أدوات ذات صلة

الأسئلة الشائعة (FAQ)

التالي الموصى به

حاسبة عدد رينولدز

محوّل اللزوجة الديناميكية

حاسبة معادلة برنولي

هل كانت هذه الحاسبة مفيدة؟