آخر تحديث: 2026-07-01

التعريف

مركز كتلة نظام من الكتل النقطية هو متوسط مواضعها المرجَّح بالكتلة، أي النقطة الوحيدة التي تتحرك — من حيث الحركة — وكأن الكتلة بأكملها متركّزة فيها. بالنسبة للأجسام المرتّبة على خط مستقيم، أدخل كل كتلة وموضعها، وتُرجع هذه الحاسبة x_cm = Σ(mᵢxᵢ) ÷ Σmᵢ، وتدعم حتى أربع كتل نقطية.

الصيغة

تُضرب كل كتلة mᵢ في موضعها xᵢ، ثم تُجمع الحواصل ويُقسم الناتج على الكتلة الكلية. الجسم الأثقل يعطي حاصل ضرب أكبر، ومن ثَمّ يجذب مركز الكتلة نحو موضعه بقوة أكبر. وعندما تتساوى جميع الكتل، تختزل الصيغة إلى المتوسط البسيط للمواضع، (x₁ + x₂ + … + xₙ) ÷ n، أي المنتصف الهندسي.

تُقاس المواضع على محور واحد، لذا يمكن أن تكون سالبة. اختيار نقطة الأصل لا يؤثر على الفيزياء: إزاحة جميع المواضع بالمقدار نفسه تُزيح مركز الكتلة بالمقدار نفسه بالضبط.

مثال محلول — جسمان

كرة كتلتها 2 كجم عند x = 0 م، وكرة كتلتها 3 كجم عند x = 5 م.

الكتلة الكلية: 2 + 3 = 5 كجم

المجموع المرجَّح: 2 × 0 + 3 × 5 = 0 + 15 = 15 كجم·م

مركز الكتلة: 15 ÷ 5 = 3 م

يقع مركز الكتلة عند 3 م، أي بعد المنتصف 2.5 م وأقرب إلى الكرة الأثقل ذات 3 كجم، تمامًا كما يوحي الحدس.

مثال محلول — ثلاثة أجسام

ثلاث كتل موضوعة على قضيب:

الكتلة الكلية: 2 + 3 + 5 = 10 كجم

المجموع المرجَّح: 0 + 3 + 10 = 13 كجم·م

مركز الكتلة: 13 ÷ 10 = 1.3 م

نظرًا لهيمنة الكتلة 5 كجم عند x = 2 م، يُجذب مركز الكتلة نحو الطرف الأيمن للقضيب، متجاوزًا بكثير المنتصف الهندسي للمواضع الثلاثة (1.0 م).

مثال محلول — مواضع سالبة

ضع كتلة 4 كجم عند x = −3 م، وكتلة 1 كجم عند x = 2 م، مع نقطة الأصل بينهما.

الكتلة الكلية: 4 + 1 = 5 كجم

المجموع المرجَّح: 4 × (−3) + 1 × 2 = −12 + 2 = −10 كجم·م

مركز الكتلة: −10 ÷ 5 = −2 م

الناتج سالب ويقع في الجهة نفسها للكتلة الأثقل. وهذا يبيّن أن مركز الكتلة لا يلزم أن يتطابق مع أي جسم ولا أن يكون موجبًا؛ فهو ببساطة يدلّ على المكان الذي تتركّز فيه الكتلة.

مركز الكتلة مقابل المركز الهندسي

المركز الهندسي هو المتوسط الهندسي البحت للمواضع، يعامل كل نقطة على قدم المساواة. أما مركز الكتلة فيرجِّح كل موضع بكتلته. لا يتطابق الاثنان إلا عندما تتساوى الكتل؛ وبمجرد اختلافها ينزاح مركز الكتلة نحو الأجسام الأثقل بينما يبقى المركز الهندسي عند المركز الهندسي.

استخدام الحقول غير المستعملة

تدعم هذه الحاسبة حتى أربعة أزواج من الكتلة والموضع. لنمذجة عدد أقل من الأجسام، اترك الكتل الزائدة عند 0. الزوج ذو الكتلة 0 لا يُسهم في الكتلة الكلية ولا في المجموع المرجَّح، لذا يُتجاهَل موضعه. ويجب أن تكون الكتلة الكلية أكبر من 0؛ فمن دون كتلة موجودة يكون مركز الكتلة غير معرَّف.