آخر تحديث: 2026-07-01

معادلة الاستمرارية

معادلة الاستمرارية هي التعبير عن حفظ الكتلة لمائع متحرك. في صيغتها الأكثر شيوعاً، وبالنسبة لجريان مستقر غير قابل للانضغاط عبر أنبوب أو قناة، تنص على أن حجم المائع العابر لكل مقطع في الثانية هو نفسه على امتداد الجريان كله. هذه الفكرة الواحدة تفسّر لماذا يخرج الماء أسرع عند الضغط على طرف خرطوم الحديقة، ولماذا تجري الأنهار بسرعة عبر المضايق الضيقة.

المعادلة

بالنسبة لجريان مستقر غير قابل للانضغاط بين مقطعين من أنبوب، يكون معدل التدفق الحجمي ثابتاً:

$A_1 v_1 = A_2 v_2 = Q$

حيث $A$ مساحة المقطع العرضي، و$v$ متوسط السرعة عبر ذلك المقطع، و$Q$ معدل التدفق الحجمي. وبحلّ المعادلة للسرعة عند المصب نحصل على الصيغة التي تستخدمها هذه الحاسبة:

$v_2 = \frac{A_1 v_1}{A_2}$

ومعدل التدفق هو ببساطة

$Q = A_1 v_1$

ولأن المائع لا يمكن أن يتراكم أو يختفي، فإن المساحة الأصغر تفرض سرعة أكبر بالتناسب.

جدول الرموز

مثال محلول

لماذا تتبادل المساحة والسرعة

لأن معدل التدفق $Q = A v$ ثابت، ترتبط المساحة والسرعة ارتباطاً عكسياً على طول الأنبوب. فتنصيف المساحة يضاعف السرعة، ومضاعفتها أربع مرات يخفض السرعة إلى الربع. وفي الأنبوب الدائري يكون هذا الترابط أقوى بدلالة القطر: بما أن المساحة تتناسب مع مربع القطر ($A = \pi d^2/4$)، فإن تنصيف القطر يقسم المساحة على أربعة ويضاعف السرعة أربع مرات، ما يعطي الاختصار $v_2 = v_1 (d_1/d_2)^2$.

من الاستمرارية إلى برنولي

تعطي الاستمرارية سرعة المائع عند كل مقطع من الهندسة وحدها، لكنها لا تقول شيئاً عن الضغط. وهنا تأتي معادلة برنولي: فما إن تحدد الاستمرارية تغيّر السرعة، حتى تربطه برنولي بتغيّر في الضغط. ففي التضييق تُجبر الاستمراريةُ المائعَ على التسارع، فتتنبأ برنولي بانخفاض الضغط الساكن هناك. هذا الاقتران هو أساس تأثير فنتوري ومقاييس التدفق من نوع فنتوري واللوحة المثقوبة، التي تستنتج معدل التدفق من فرق ضغط مقيس.

الجريان القابل للانضغاط

لا تصحّ الصيغة البسيطة $A_1 v_1 = A_2 v_2$ إلا عند ثبات الكثافة. أما بالنسبة لغاز يتحرك بسرعة كافية لتتغير كثافته تغيّراً ملموساً — عند نحو ما فوق ماخ 0.3 — فإن الكمية المحفوظة هي معدل التدفق الكتلي بدلاً من الحجمي:

$\rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2$

وفي هذا النطاق قد تنعكس العلاقة بين المساحة والسرعة، ولهذا تتّسع الفوهة الأسرع من الصوت بدلاً من أن تضيق لتسريع الجريان. أما بالنسبة للسوائل اليومية والغازات البطيئة التي تستهدفها هذه الحاسبة، فإن الصيغة غير القابلة للانضغاط تقريب ممتاز.