آخر تحديث: 2026-06-05

تعريف نصف الكرة

نصف الكرة هو الجسم الناتج عن قطع كرة بمستوى يمر بمركزها. يتكوّن من قاعدة دائرية مستوية وسطح خارجي منحنٍ يُعرف بالقبة. ويساوي نصف قطر القاعدة نصف قطر الكرة الأصلية. ومن أبرز الأمثلة عليه: الأطباق والقباب المعمارية والإيغلو.

الصيغ الرياضية

لنصف كرة نصف قطره r:

الكمية	الصيغة	ملاحظة
الحجم	$V = \dfrac{2}{3}\pi r^3$	نصف حجم الكرة
مساحة السطح المنحني	$A_c = 2\pi r^2$	القبة فقط، دون القاعدة
مساحة القاعدة	$A_b = \pi r^2$	القرص الدائري المستوي
المساحة الكلية	$A = 3\pi r^2$	القبة + القاعدة

الاشتقاق

الحجم

حجم الكرة الكاملة نصف قطرها $r$ هو $\dfrac{4}{3}\pi r^3$، ونصف الكرة يساوي نصف هذه القيمة تماماً:

$V = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$

ويمكن التحقق من هذه النتيجة بالتكامل؛ إذ يبلغ نصف قطر المقطع الأفقي عند الارتفاع $h$ القيمةَ $\sqrt{r^2 - h^2}$، فنكامل من $h = 0$ إلى $h = r$:

$V = \int_0^r \pi(r^2 - h^2)\,dh = \pi\!\left[r^2 h - \frac{h^3}{3}\right]_0^r = \frac{2}{3}\pi r^3$

مساحة السطح المنحني

مساحة سطح الكرة الكاملة هي $4\pi r^2$، والقبة نصفها:

$A_c = \frac{1}{2} \cdot 4\pi r^2 = 2\pi r^2$

مساحة القاعدة والمساحة الكلية

القاعدة دائرة نصف قطرها $r$:

$A_b = \pi r^2$

والمساحة الكلية تجمع القبة والقاعدة:

$A = A_c + A_b = 2\pi r^2 + \pi r^2 = 3\pi r^2$

مقارنة نصف الكرة بالكرة الكاملة

الكمية	نصف الكرة	الكرة	النسبة
الحجم	$\dfrac{2}{3}\pi r^3$	$\dfrac{4}{3}\pi r^3$	1/2
السطح المنحني	$2\pi r^2$	$4\pi r^2$	1/2
المساحة الكلية	$3\pi r^2$	$4\pi r^2$	3/4

الحجم والسطح المنحني كلاهما نصف مقابليهما في الكرة. أما المساحة الكلية فهي ثلاثة أرباع مساحة سطح الكرة، لا نصفها، لأن القاعدة المستوية تُضيف $\pi r^2$ إضافيّاً. وهذا المزلق أكثر الأخطاء شيوعاً عند تقسيم حسابات الكرة.

مثال محلول

قبّة نصف كروية نصف قطرها 10 سم (0.10 م):

الحجم: $V = \frac{2}{3}\pi (0.10)^3 = \frac{2}{3}\pi \times 0.001 \approx 0.002094 \text{ م}^3 = 2{,}094 \text{ سم}^3$

مساحة السطح المنحني: $A_c = 2\pi (0.10)^2 = 2\pi \times 0.01 \approx 0.0628 \text{ م}^2 = 628.3 \text{ سم}^2$

مساحة القاعدة: $A_b = \pi (0.10)^2 = \pi \times 0.01 \approx 0.0314 \text{ م}^2 = 314.2 \text{ سم}^2$

المساحة الكلية: $A = 3\pi (0.10)^2 = 3\pi \times 0.01 \approx 0.0942 \text{ م}^2 = 942.5 \text{ سم}^2$

أثر تغيير نصف القطر

الحجم يتناسب مع مكعب نصف القطر، والمساحة مع مربعه:

مضاعفة نصف القطر	مضاعفة الحجم	مضاعفة المساحة
×2	×8	×4
×3	×27	×9
×½	×⅛	×¼

هذه العلاقة أساسية في تصميم الخزانات والقباب، إذ يؤدي مضاعفة نصف القطر إلى تضاعف الحجم ثمانية أضعاف مع تضاعف المساحة أربعة أضعاف فحسب.

انظر أيضاً: حاسبة حجم الكرة والمساحة السطحية وحاسبة حجم المخروط ومساحة سطحه.

الأسئلة الشائعة (FAQ)

ما صيغة حجم نصف الكرة؟

حجم نصف الكرة هو V = (2/3)πr³، أي نصف حجم الكرة الكاملة (4/3)πr³ تماماً. لنصف كرة بنصف قطر r = 5 سم: r³ = (0.05 م)³ = 0.000125 م³، إذاً V = (2/3) × π × 0.000125 ≈ 0.000262 م³ ≈ 261.8 سم³.

هل تشمل المساحة الكلية لنصف الكرة القاعدة المستوية؟

نعم. المساحة الكلية = السطح المنحني (2πr²) + القاعدة (πr²) = 3πr². إذا كان المطلوب القبة فقط، يُستخدم 2πr². لـ r = 5 سم: المنحني ≈ 157.1 سم²، القاعدة ≈ 78.5 سم²، الكلية ≈ 235.6 سم².

كيف يختلف نصف الكرة عن الكرة الكاملة في الحجم والمساحة؟

حجم نصف الكرة نصف حجم الكرة الكاملة بنفس نصف القطر (V = (2/3)πr³ مقابل (4/3)πr³). مساحة سطحه المنحني (2πr²) كذلك نصف مساحة سطح الكرة (4πr²). أما المساحة الكلية (3πr²) فتعادل ثلاثة أرباع مساحة سطح الكرة (4πr²)، إذ تُضاف القاعدة المستوية πr².

كيف تحسب مساحة القبة المنحنية وحدها لنصف الكرة؟

مساحة السطح المنحني (القبة) هي A_c = 2πr² دون القاعدة. لـ r = 5 سم: A_c = 2 × π × 25 ≈ 157.1 سم². بإضافة القاعدة (πr² ≈ 78.5 سم²)، تصبح المساحة الكلية 3πr² ≈ 235.6 سم².