Derivada de un polinomio en un punto

Última actualización: 2026-05-26

Descripción y alcance

Esta calculadora obtiene la derivada de un polinomio en un punto concreto. Se introducen los coeficientes del polinomio de mayor a menor grado —por ejemplo, 1, -3, 2, 5 para x³ − 3x² + 2x + 5— y un valor de x. La herramienta devuelve P(x), P′(x), los coeficientes de la derivada y la ecuación de la recta tangente, junto con una gráfica que muestra la curva y la tangente superpuestas.

Alcance: solo polinomios. No se admite diferenciación simbólica de funciones arbitrarias como seno, exponencial o logaritmo.

La regla de la potencia

Para cualquier término de la forma aₙxⁿ, la derivada es:

$\frac{d}{dx}[a_n x^n] = n \cdot a_n x^{n-1}$

Aplicada término a término a un polinomio completo:

$P(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n$

$P'(x) = n\,a_0\, x^{n-1} + (n-1)\,a_1\, x^{n-2} + \cdots + a_{n-1}$

El término constante desaparece, porque $\tfrac{d}{dx}[c] = 0$. El grado de la derivada es siempre uno menor que el del polinomio original.

Ejemplo paso a paso

Sea P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5 (coeficientes: 1, -3, 2, 5) evaluado en x = 2.

Paso 1 — evaluar P(2) mediante el método de Horner:

$P(2) = ((1 \cdot 2 - 3) \cdot 2 + 2) \cdot 2 + 5 = 5$

Paso 2 — derivar usando la regla de la potencia:

$P'(x) = 3x^2 - 6x + 2$

Paso 3 — evaluar P′(2):

$P'(2) = 3(4) - 6(2) + 2 = 12 - 12 + 2 = 2$

Paso 4 — escribir la ecuación de la recta tangente:

$y = P'(2)\,(x - 2) + P(2) = 2(x - 2) + 5 = 2x + 1$

La recta tangente toca la curva en el punto (2, 5) con pendiente 2.

Significado geométrico de la derivada

La derivada P′(x₀) es la tasa de cambio instantánea del polinomio en x₀, o equivalentemente la pendiente de la curva en ese único punto. A medida que el intervalo [x₀, x₀ + h] se contrae hasta cero, la pendiente de la secante converge hacia P′(x₀):

$P'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{P(x_0 + h) - P(x_0)}{h}$

La recta tangente es la mejor aproximación lineal de la curva en las proximidades de x₀. Para desviaciones pequeñas Δx, la curva y la tangente se separan en una cantidad proporcional a (Δx)², lo que hace de la tangente un modelo local muy preciso del polinomio.

Entrada de coeficientes

Importante: los coeficientes de las potencias ausentes deben introducirse como ceros. Para x⁴ − 1, los términos x³, x² y x¹ son nulos, por lo que la entrada es 1, 0, 0, 0, -1.

Coeficientes de la derivada

La calculadora devuelve también los coeficientes de P′(x) en el mismo formato de mayor a menor grado. Para P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5:

$P'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \quad \Rightarrow \quad \text{coeficientes: } 3, -6, 2$

Estos coeficientes pueden pegarse de nuevo en la entrada para calcular la segunda derivada P″(x), o bien usarse en la calculadora de Resolución de ecuaciones de segundo grado para encontrar los puntos críticos de P, es decir, los valores de x donde P′(x) = 0.

Relación con la tasa de cambio promedio

La Calculadora de tasa de cambio promedio calcula la pendiente de la recta secante entre dos puntos de una función: el análogo discreto de la derivada. Cuando los dos puntos se acercan, la pendiente de la secante converge hacia la derivada obtenida aquí. La derivada es, en ese sentido, el límite al que tiende la tasa de cambio promedio cuando el intervalo se reduce a un punto.