Dernière mise à jour : 2026-07-13

La troisième loi de Kepler

La troisième loi de Kepler relie les trois grandeurs qui décrivent une orbite : la distance au corps que l'on tourne, la masse de ce corps central et la durée d'un tour. Sous la forme de Newton, elle s'écrit $T^2 = 4\pi^2 a^3/(GM)$ — le carré de la période croît comme le cube de la distance. Ce calculateur réorganise cette unique relation de trois façons : trouver la période à partir d'une distance et d'une masse, retrouver la distance orbitale à partir d'une période connue, ou même peser le corps central à partir d'une orbite mesurée.

La formule et ses trois formes

Ici $a$ est le demi-grand axe (la distance orbitale moyenne, et simplement le rayon pour une orbite circulaire), $M$ la masse du corps orbité et $G = 6.674\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$ la constante gravitationnelle. La masse du corps en orbite n'apparaît jamais : un grain de poussière et une lune à la même distance de la même étoile mettent exactement le même temps à faire le tour.

Le raccourci du système solaire

Si la troisième loi de Kepler est si commode pour les planètes, c'est grâce à un choix d'unités astucieux. Mesurez la distance en unités astronomiques (1 UA est la distance Terre-Soleil), la masse en masses solaires (1 M☉ est la masse du Soleil) et le temps en années, et le bloc $4\pi^2/(GM)$ devient $1/M$. La loi s'écrit alors :

avec $T$ en années, $a$ en UA et $M$ en masses solaires. C'est cette forme que le calculateur utilise en interne, et c'est pourquoi ses valeurs par défaut — l'orbite terrestre — donnent un résultat net.

Exemple : la Terre autour du Soleil

Pour la Terre, le demi-grand axe vaut $a = 1\ \text{UA}$ et la masse centrale $M = 1\ \text{M}_\odot$ :

Les mêmes nombres en unités SI complètes — $a = 1.496\times10^{11}\ \text{m}$, $M = 1.989\times10^{30}\ \text{kg}$ — passés dans $T = 2\pi\sqrt{a^3/GM}$ donnent environ $3.156\times10^{7}\ \text{s}$, soit un an à une infime fraction de pour cent près. La forme en UA ne fait que masquer le calcul.

Exemple : les planètes externes

La mise à l'échelle en a³ explique la lenteur du système solaire externe. Jupiter se situe vers $a = 5.20\ \text{UA}$, donc

ce qui correspond aux 11,86 ans réels de Jupiter. Neptune, à environ 30 UA, a besoin de $\sqrt{30^3} \approx 164$ ans pour boucler un tour du Soleil : une année neptunienne est plus longue que la durée depuis laquelle la planète est connue de la science.

Peser une étoile

À l'inverse, la troisième loi de Kepler est l'un des outils les plus importants de l'astronomie : elle mesure une masse que l'on ne pourra jamais poser sur une balance. Si l'on observe un compagnon en orbite — une planète autour d'une étoile, une étoile autour d'un trou noir — et que l'on mesure sa période et son demi-grand axe, alors $M = 4\pi^2 a^3/(GT^2)$ donne la masse de ce qui est orbité. C'est ainsi qu'ont été déterminées la masse du Soleil, celle des étoiles hôtes d'exoplanètes et celle du trou noir supermassif au centre de la Voie lactée.

Hypothèses et limites

La loi telle qu'utilisée ici suppose un corps bien plus massif que l'autre, de sorte que le corps central reste pratiquement fixe pendant que le plus petit l'orbite. Pour deux masses comparables — une étoile double, par exemple — le $M$ de la formule est la somme des deux masses, et les deux corps orbitent leur centre de masse commun. Le résultat est aussi la valeur idéale à deux corps : il ignore l'attraction des autres planètes, le léger aplatissement des corps réels et les effets relativistes, qui provoquent tous de petites dérives lentes des orbites réelles sur de longues durées.