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Généré le: 20 juillet 2026 à 21:34

Calculateur de la loi de Hagen-Poiseuille

Données

Rayon de la conduite5 mm
Différence de pression10 kPa
Viscosité dynamique1 mPa·s
Longueur de la conduite1 m

Généré avec OneCalc · https://onecalc.app/fr/physics/poiseuille-flow

Physique

Calculateur de la loi de Hagen-Poiseuille

Calcule le débit volumique d'un fluide visqueux dans une conduite droite de section circulaire à l'aide de la loi de Hagen-Poiseuille. Saisis le rayon, la différence de pression, la viscosité dynamique et la longueur du tube pour obtenir le débit en régime laminaire.

Données

Résultats

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\begin{aligned} Q &= \frac{\pi\, r^4\, \Delta P}{8\, \mu\, L} \\ &= \frac{\pi\, (5\,\text{mm})^4\, (10\,\text{kPa})}{8\, (1\,\text{mPa·s})\, (1\,\text{m})} \\ &= ?\,\text{L/s} \end{aligned}

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La loi de Hagen-Poiseuille

La loi de Hagen-Poiseuille décrit l'écoulement d'un fluide visqueux dans une conduite étroite. Elle relie le débit volumique à la pression qui met le fluide en mouvement, à la résistance due à sa viscosité et à la géométrie de la conduite. Cette relation est fondamentale en hydraulique, en génie chimique, en microfluidique et en physiologie de la circulation sanguine.

L'équation

Pour un écoulement permanent, laminaire et incompressible d'un fluide newtonien dans une conduite longue et droite de section circulaire, le débit volumique s'écrit :

Q=π r4 ΔP8 μ LQ = \frac{\pi\, r^4\, \Delta P}{8\, \mu\, L}

où QQ est le débit, rr le rayon intérieur, ΔP\Delta P la différence de pression entre les extrémités, μ\mu la viscosité dynamique et LL la longueur de la conduite. Le débit augmente avec la pression motrice et la puissance quatrième du rayon, et diminue quand la viscosité ou la longueur croissent.

Tableau des symboles

GrandeurSymboleRemarques
Débit volumiqueQQRésultat, volume par unité de temps
Rayon de la conduiterrRayon intérieur ; intervient en r4r^4
Différence de pressionΔP\Delta PChute entre entrée et sortie
Viscosité dynamiqueμ\muRésistance au cisaillement
Longueur de la conduiteLLLongueur du tronçon droit

Exemple résolu

De l'eau à 20 °C s'écoule dans un tube droit de 5 mm de rayon intérieur et 1 m de long. Une différence de pression de 10 kPa est appliquée sur le tube. L'eau a une viscosité dynamique d'environ 0,001 Pa·s. Quel est le débit ?

Q=π (0.005)4 (10,000)8 (0.001) (1)Q = \frac{\pi\, (0.005)^4\, (10{,}000)}{8\, (0.001)\, (1)}

Q=π×6.25×10−10×10,0000.008=2.454×10−3 m3/sQ = \frac{\pi \times 6.25\times10^{-10} \times 10{,}000}{0.008} = 2.454\times10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}

Le débit vaut environ 2,454 L/s.

De l'eau à 20 °C s'écoule dans un tube droit de 5 mm de rayon intérieur et 1 m de long sous une différence de pression de 10 kPa, avec une viscosité de 0,001 Pa·s. Le calcul se fait en unités de base du SI :

Q=π (0.005)4 (10,000)8 (0.001) (1)=2.454×10−3 m3/sQ = \frac{\pi\, (0.005)^4\, (10{,}000)}{8\, (0.001)\, (1)} = 2.454\times10^{-3}\ \text{m}^3/\text{s}

Converti en unités américaines, le débit est d'environ 38,9 gal/min.

La dépendance en puissance quatrième du rayon

Le trait le plus marquant de l'équation est que le débit varie en r4r^4. De ce fait, le rayon est la dimension la plus importante de la conduite :

  • Doubler le rayon multiplie le débit par 24=162^4 = 16.
  • Le diviser par deux le réduit à 1/161/16 de la valeur initiale.
  • Une réduction du rayon de 10 % abaisse le débit d'environ 34 %.

Cette sensibilité explique pourquoi le rétrécissement d'une artère a un effet aussi important sur le débit sanguin, pourquoi une conduite légèrement obstruée perd l'essentiel de son débit, et pourquoi les canaux microfluidiques exigent des dimensions contrôlées avec précision. Elle signifie aussi que la mesure du rayon domine l'incertitude de tout calcul : une petite erreur de mesure est amplifiée à la puissance quatrième.

Domaine de validité

L'équation suppose un écoulement laminaire — des couches de fluide ordonnées glissant les unes sur les autres. Le maintien du régime laminaire dépend du nombre de Reynolds ; pour un écoulement en conduite, la transition vers la turbulence débute vers un nombre de Reynolds d'environ 2300. Au-delà, le mélange chaotique accroît la résistance et la relation linéaire entre pression et débit disparaît : on utilise alors un modèle empirique comme l'équation de Darcy-Weisbach.

Les autres hypothèses sont un fluide newtonien (viscosité constante), l'incompressibilité, une section circulaire constante, l'adhérence à la paroi et un profil de vitesse pleinement développé. Ce dernier point exige que la conduite soit longue par rapport à son diamètre, afin que les effets d'entrée près de l'orifice soient négligeables. Le sang, en particulier, est non newtonien : l'équation ne fournit donc qu'une première approximation pour l'écoulement physiologique.

Outils associés

Pour vérifier que l'hypothèse laminaire est justifiée, on peut calculer le nombre de Reynolds de l'écoulement. Pour convertir une viscosité entre poise, centipoise et Pa·s, un convertisseur de viscosité fait l'affaire. Enfin, pour relier pression, vitesse et hauteur dans un écoulement idéal (non visqueux), la loi de Bernoulli est la relation complémentaire.

Questions fréquentes (FAQ)

Qu'est-ce que la loi de Hagen-Poiseuille ?

La loi de Hagen-Poiseuille donne le débit volumique d'un fluide visqueux en écoulement laminaire dans une conduite droite de section circulaire : Q = πr⁴ΔP / (8μL). Ici Q est le débit, r le rayon intérieur, ΔP la différence de pression qui met le fluide en mouvement, μ la viscosité dynamique et L la longueur de la conduite.

Elle se déduit des équations de Navier-Stokes pour un profil de vitesse parabolique pleinement développé et porte le nom de Gotthilf Hagen et Jean Léonard Marie Poiseuille, qui l'ont étudiée dans les années 1840.

Dans quels cas la loi de Hagen-Poiseuille s'applique-t-elle ?

Elle s'applique à un écoulement permanent, laminaire et incompressible d'un fluide newtonien dans une conduite longue et droite de section circulaire constante, avec adhérence à la paroi et profil de vitesse pleinement développé.

Elle néglige les effets d'entrée : la conduite doit donc être longue par rapport à son diamètre. L'écoulement doit rester laminaire, ce qui correspond en général à un nombre de Reynolds inférieur à environ 2300 dans une conduite. Hors de ces conditions, un modèle corrigé ou turbulent est nécessaire.

Pourquoi le rayon de la conduite compte-t-il autant ?

Le débit varie avec la puissance quatrième du rayon (r⁴) : le rayon est donc de loin la variable la plus influente. Doubler le rayon multiplie le débit par seize ; le diviser par deux le réduit au seizième. Cette forte dépendance explique pourquoi un léger rétrécissement d'un vaisseau sanguin ou d'une conduite diminue considérablement le débit, et pourquoi une mesure précise du rayon est indispensable.

Que se passe-t-il lorsque l'écoulement devient turbulent ?

La loi de Hagen-Poiseuille n'est valable qu'en régime laminaire. Lorsque la différence de pression ou le rayon augmente, le nombre de Reynolds croît ; au-delà d'environ 2300 dans une conduite, l'écoulement devient turbulent et le mélange chaotique accroît la résistance.

Dans ce régime, la relation linéaire entre pression et débit disparaît, et l'on recourt à des corrélations empiriques comme l'équation de Darcy-Weisbach avec un coefficient de frottement.

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