Dernière mise à jour : 2026-07-13

La loi de refroidissement de Newton

La loi de refroidissement de Newton décrit comment un corps chaud perd de la chaleur vers un environnement plus froid — ou comment un corps froid en gagne d'un environnement plus chaud. Son idée centrale est simple : la vitesse du refroidissement dépend de l'écart entre la température du corps et celle qui l'entoure. Une tasse de café très chaud refroidit vite ; la même tasse, une fois à peine au-dessus de la température ambiante, refroidit bien plus lentement. Écrite comme équation de vitesse,

l'écart de température $(T - T_{env})$ est le moteur du processus et $k$ la constante de refroidissement. La résolution de cette équation donne la courbe exponentielle qu'utilise ce calculateur :

Saisissez la température initiale $T_0$, la température ambiante $T_{env}$ et la constante de refroidissement $k$, et le calculateur renvoie la température après une durée choisie, le temps pour atteindre une température cible, ou $k$ elle-même, ajustée à partir d'une seule mesure.

Comment fonctionne le modèle

Ce qui décroît réellement, ce n'est pas la température mais l'écart de température $\Delta T = T - T_{env}$. En le reportant dans l'équation de vitesse, on obtient $d(\Delta T)/dt = -k\,\Delta T$, la même forme que la désintégration radioactive ou un condensateur qui se décharge. L'écart diminue donc d'une fraction constante à chaque intervalle de temps égal :

En rajoutant la température ambiante, on retrouve $T(t)$. Comme seul l'écart décroît, le corps s'approche toujours de $T_{env}$ sans jamais le franchir : le café se stabilise juste au-dessus de la température ambiante, et une boisson froide se réchauffe jusqu'à elle, mais pas au-delà.

Deux échelles de temps résument la courbe. La constante de temps $\tau = 1/k$ est la durée au bout de laquelle l'écart tombe à environ 37 % ($1/e$) de sa valeur initiale ; après environ $5\tau$, le corps est à moins de 1 % de l'ambiante et paraît, en pratique, stabilisé. La demi-vie $t_{1/2} = \ln 2 / k$ est la durée pour que l'écart soit divisé par deux, et elle est la même en tout point de la courbe.

Formule

Les températures cible et mesurée doivent se situer entre $T_{env}$ et $T_0$, car la courbe ne se déplace jamais que de $T_0$ vers $T_{env}$.

Exemple résolu

On verse une tasse de café à $T_0 = 90\,^{\circ}\text{C}$ dans une pièce à $T_{env} = 20\,^{\circ}\text{C}$, avec une constante de refroidissement $k = 0{,}05\ \text{min}^{-1}$. Quelle est sa température après $t = 10$ minutes ?

Étape 1 — Écart de température initial :

Étape 2 — Facteur de décroissance :

Étape 3 — Température après 10 minutes :

Après dix minutes, le café est passé de 90 °C à environ 62,5 °C. Sa constante de temps est $\tau = 1/0{,}05 = 20$ minutes et sa demi-vie $\ln 2 / 0{,}05 \approx 13{,}9$ minutes — toutes les 14 minutes, l'écart restant avec la température ambiante est donc divisé par deux.

Déterminer la constante de refroidissement à partir d'une mesure

La constante de refroidissement est une propriété du corps et de son environnement — surface, matériau et liberté de circulation de l'air autour de lui — et se mesure presque toujours plutôt qu'elle ne se lit dans une table. Relevez une température supplémentaire à un instant connu et réarrangez la loi :

Pour le café ci-dessus, supposons qu'il indique $T_m = 60\,^{\circ}\text{C}$ après 10 minutes. Alors

Une fois $k$ connue, toute la suite de la courbe — et le temps pour atteindre n'importe quelle cible buvable — en découle.

Comment l'écart se referme au fil du temps

Pertinence concrète

Cette loi est l'outil de tous les jours pour estimer un refroidissement. Elle fixe combien de temps un plat chaud doit reposer avant d'être servi, guide les plans de refroidissement qui gardent les aliments sûrs en traversant la zone à risque, et apparaît en médecine légale, où la baisse de la température corporelle après la mort donne une estimation grossière du temps écoulé. Les ingénieurs utilisent la même exponentielle pour dimensionner le temps d'établissement de l'électronique et vérifier qu'un composant atteint une température sûre dans une fenêtre imposée.

Limites

La loi de Newton est une approximation qui vaut le mieux lorsque la chaleur part surtout par convection vers un grand réservoir stable et que l'écart de température est modéré. Quand un corps est très chaud, le rayonnement prend le relais et la perte de chaleur suit la loi de Stefan-Boltzmann en puissance quatrième plutôt qu'une loi linéaire, de sorte que le refroidissement est plus rapide que ne le prédit une seule constante. Le modèle suppose aussi que le corps a une température uniforme et que l'environnement ne se réchauffe pas ; un rôti épais au cœur froid, ou une petite boîte fermée qui s'échauffe autour du corps, s'écartent tous deux de la courbe simple.