Dernière mise à jour : 2026-07-01

Loi de Stokes

La loi de Stokes décrit la force de traînée qu'un fluide visqueux exerce sur une petite sphère se déplaçant lentement en son sein. Contrairement à la traînée d'une voiture ou d'un avion rapide, cette force croît en proportion directe de la vitesse, car elle est dominée par la viscosité du fluide et non par son inertie. La loi sous-tend l'analyse de sédimentation, la science des aérosols, la méthode de la bille tombante pour mesurer la viscosité et la physique des gouttes de pluie et des particules qui sédimentent.

L'équation

Pour une petite sphère rigide se déplaçant lentement dans un fluide newtonien illimité, la force de traînée vaut :

$F = 6\pi\, \mu\, r\, v$

où $F$ est la force de traînée, $\mu$ la viscosité dynamique du fluide, $r$ le rayon de la sphère et $v$ sa vitesse par rapport au fluide. La force agit à l'opposé du mouvement. Comme elle est linéaire en $v$, doubler la vitesse double la traînée — une signature du régime lent dominé par la viscosité.

Tableau des symboles

Exemple résolu

Pourquoi la traînée est linéaire en vitesse

À l'échelle quotidienne, la traînée croît comme le carré de la vitesse, car l'objet en mouvement doit écarter le fluide et ce coût inertiel augmente fortement. Pour une sphère minuscule et lente dans un fluide visqueux, le tableau diffère : l'inertie est négligeable et la traînée provient presque entièrement du cisaillement visqueux des couches de fluide autour de la sphère. Il en résulte une force qui ne croît que linéairement avec la vitesse. La frontière entre ces deux régimes est fixée par le nombre de Reynolds, qui compare les forces d'inertie aux forces visqueuses. La loi de Stokes s'applique lorsque ce nombre est très inférieur à 1.

Sédimentation et vitesse limite

L'usage le plus courant de la loi de Stokes consiste à déterminer la vitesse à laquelle une particule sédimente sous l'effet de la gravité dans un fluide. À mesure que la particule tombe, la traînée augmente avec la vitesse jusqu'à équilibrer la force descendante nette — le poids moins la poussée d'Archimède. À ce stade, la particule se déplace à une vitesse limite (de sédimentation) constante :

$v_t = \frac{2\, r^2\, (\rho_p - \rho_f)\, g}{9\, \mu}$

où $\rho_p$ et $\rho_f$ sont les masses volumiques de la particule et du fluide et $g$ l'accélération de la pesanteur. Cette relation de vitesse de sédimentation sert à classer les particules dans les décanteurs, à interpréter les données de centrifugation et à estimer combien de temps la poussière ou les gouttelettes restent en suspension dans l'air.

Domaine de validité et limites

La loi de Stokes suppose un écoulement rampant, soit un nombre de Reynolds très inférieur à 1. La sphère doit être petite, rigide et lisse, le fluide newtonien et incompressible, et l'écoulement stationnaire et laminaire. Elle suppose aussi que la sphère est éloignée de toute paroi et des autres particules, de sorte que le fluide environnant est pratiquement illimité.

Lorsque ces conditions ne sont plus réunies — particules plus grosses, vitesses plus élevées ou suspensions denses —, la loi perd en précision. Quand le nombre de Reynolds approche 1, les effets d'inertie rendent la traînée réelle supérieure à celle prédite par la loi de Stokes, et des corrections comme l'approximation d'Oseen ou une courbe de traînée empirique deviennent nécessaires. Aux grands nombres de Reynolds, l'écoulement est dominé par l'inertie et la loi de traînée quadratique, $F = \tfrac{1}{2}\rho v^2 C_d A$, prend entièrement le relais.

Outils associés

Pour vérifier que l'hypothèse d'écoulement rampant tient, calculez le le Calculateur du nombre de Reynolds de la sphère et confirmez qu'il est inférieur à 1. Pour trouver la vitesse de sédimentation constante d'une particule, lorsque la traînée équilibre la gravité, utilisez la la Calculatrice de vitesse limite. Et pour un écoulement dominé par l'inertie à plus grande vitesse, la la Calculateur de force de traînée est la relation complémentaire.