ホーム 数学 多項式の値の計算（ホーナー法） 作成日: 2026年6月13日 18:01 多項式の値の計算（ホーナー法） 入力 係数（高次 → 低次）1, -3, 2, 5評価点 x2 グラフ xy 数学 多項式の値の計算（ホーナー法） 多項式の係数を高次から順にカンマ区切りで入力し、評価点 x を指定すると、ホーナー法で P(x) を計算します。次数・式の表示・グラフも同時に表示されます。 入力 係数（高次 → 低次） 最高次の係数から定数項まで、カンマ区切りで入力してください。例：「1, -3, 2, 5」は x³ − 3x² + 2x + 5 を表します。次数が抜ける項にはゼロを明示してください（例：x² なら「1, 0, 0」）。 評価点 x 多項式を評価する x の値。 結果 値を入力すると計算結果が表示されます。 P(x) ホーナー法により x で評価した多項式の値。 詳細 coeffs = 1, -3, 2, 5x = 2 多項式 P(x) 入力した係数から生成された多項式の標準形式。 次数 多項式の次数。入力した係数の個数から 1 を引いた値です。 評価の手順 \begin{aligned} P(x) &= ? \\ P(2) &= ? \end{aligned} xy 共有 レポートを印刷 リセット 埋め込み この計算機を埋め込む プレビュー このコードをページに貼り付けると計算機を表示できます。 コードをコピー この計算を共有 このリンクを開くと、入力した値がそのまま表示されます。 リンクをコピー 共有する XFacebookLINE メール 最終更新: 2026-06-06 多項式の値の計算とホーナー法 多項式 P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ は、実数 x に対して一つの値を対応させる関数です。与えられた x での値を求める操作を「多項式の値の計算（多項式評価）」といい、数値計算・信号処理・コンピュータグラフィクスなど幅広い場面で用いられます。 ホーナー法の仕組み 多項式を「そのまま」計算しようとすると、x² = x·x、x³ = x²·x のように各べき乗を都度求め、それぞれに係数を掛けて合計する手順になります。n 次多項式の場合、この素朴な方法では最大で n(n+1)/2 回の乗算が必要です。 ホーナー法（Horner's method）は、同じ多項式を入れ子の積として書き直すことで、この回数を n 回まで削減します。 P(x)=(⋯((an⋅x+an−1)⋅x+an−2)⋅x+⋯+a1)⋅x+a0P(x) = (\cdots((a_n \cdot x + a_{n-1}) \cdot x + a_{n-2}) \cdot x + \cdots + a_1) \cdot x + a_0 処理手順は単純です。先頭の係数 aₙ を初期値とし、係数を順に読み込みながら「現在の値に x を掛けて次の係数を加える」操作を n 回繰り返します。 r←r⋅x+an−k(k=1,2,…,n)r \leftarrow r \cdot x + a_{n-k} \quad (k = 1, 2, \ldots, n) n 回の操作が終わると、r に P(x) の値が得られます。理論的にも、多項式評価に必要な乗算回数の下限は n 回であることが証明されており、ホーナー法はこの下限を達成しています。 計算例 P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5 を x = 2 で評価します（係数：1, −3, 2, 5）。 ステップ操作蓄積値初期化r = 11k = 1r = 1 × 2 + (−3) = −1−1k = 2r = −1 × 2 + 2 = 00k = 3r = 0 × 2 + 5 = 55 P(2) = 5 となります。直接計算で確認すると 2³ − 3 × 2² + 2 × 2 + 5 = 8 − 12 + 4 + 5 = 5 で一致します。 素朴な計算法との比較 次数が大きくなるほど、両者の乗算回数の差は顕著になります。 次数素朴な方法（乗算回数）ホーナー法（乗算回数）23251551055102021020 演算回数の削減に加えて、ホーナー法は数値安定性でも優れています。べき乗計算を避けるため中間値の桁数が抑えられ、係数の大きさが極端に異なる場合でも桁落ちが起こりにくい特性があります。 係数の入力方法 係数は最高次の項から定数項の順に、カンマ区切りで入力します。次数が抜ける項のゼロは省略できません。省略すると残りの係数がすべて誤った次数に対応してしまいます。 多項式入力する係数x³ − 3x² + 2x + 51, -3, 2, 52x² + 3x − 12, 3, -1x⁴ − 11, 0, 0, 0, -1−3x + 7-3, 7定数 44 次数は常に入力した値の個数から 1 を引いた数です。値が 1 つだけの場合は 0 次（定数）多項式になります。 組立除法との関係 ホーナー法は、多項式を 1 次式 (x − c) で割る組立除法と代数的に等価です。P(x) を (x − c) で除したとき、余りが P(c)、商の多項式を Q(x) とすると次の恒等式が成り立ちます。 P(x)=(x−c) Q(x)+P(c)P(x) = (x - c)\,Q(x) + P(c) この商の多項式 Q(x) を c で評価した値 Q(c) は P′(c) に等しく、1 回のホーナー計算で P(c) と P′(c) を同時に得られます。ニュートン法による方程式の根の探索は、この性質を利用して各反復ステップで値と微分値の両方を求める手法です。 応用分野 多項式評価は工学・情報科学の多くの場面で基盤的な役割を担っています。 コンピュータグラフィクス — ベジェ曲線やスプライン曲線は媒介変数を持つ多項式であり、3 次ベジェ曲線の描画には 1 フレームあたり何百回もの多項式評価が必要です。 デジタル信号処理 — FIR（有限インパルス応答）フィルタの演算は Z 領域での多項式乗算に対応し、各サンプルでホーナー法が適用されます。 数値的根の探索 — ニュートン法は各反復で P(x₀) と P′(x₀) の両方を評価しますが、いずれも 1 回のホーナー計算から得られます。 誤り検出符号 — CRC（巡回冗長検査）は GF(2) 上の多項式の剰余算であり、その中心にホーナーのループがあります。 制御理論 — ラプラス変換域またはZ変換域の伝達関数は有理多項式であり、特性多項式の虚軸上での評価が安定性解析に必要です。 関連する計算 P′(x) を P(x) と同時に求めるには 多項式の微分計算 を、多項式の定積分には 多項式の定積分 を使用してください。P(x) = 0 の解を求めるには 二次方程式の解（2次） または 三次方程式の解（3次） が利用できます。 よくある質問 (FAQ)ホーナー法とはどのような方法ですか？ホーナー法（組立計算法とも呼ばれます）は、多項式 P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ を入れ子の積の形 P(x) = (…((aₙ · x + aₙ₋₁) · x + aₙ₋₂) · x + … + a₁) · x + a₀ に書き直して評価するアルゴリズムです。各ステップで現在の値に x を掛けて次の係数を加えるだけでよく、n 次多項式の評価に必要な演算は乗算 n 回・加算 n 回（これ以上少なくできない最小値）です。 ホーナー法はなぜ直接計算より効率的なのですか？直接計算では各べき乗を個別に求めます（x² = x·x、x³ = x²·x など）。n 次多項式の場合、この方法では最大で n(n+1)/2 回の乗算が必要です。ホーナー法は途中結果を再利用することで、乗算を n 回・加算を n 回に削減します。たとえば 20 次多項式なら、直接計算の 210 回に対しホーナー法では 20 回で済みます。また、中間値が小さく抑えられるため、桁落ちによる数値誤差も生じにくくなります。 ホーナー法を使って導関数の値を求めることはできますか？できます。組立除法（多項式の合成除法）はホーナー法と代数的に等価であり、一度の処理で P(x₀) と P′(x₀) を同時に得られます。P(x) を (x − x₀) で除したときの余りが P(x₀)、商の多項式 Q(x) を x₀ で評価した値 Q(x₀) が P′(x₀) に等しいという恒等式 P(x) = (x − x₀)Q(x) + P(x₀) が根拠です。P(x) と P′(x) を同時に評価するには、このサイトの多項式導関数計算機をご利用ください。 係数の入力方法を教えてください。最高次の項の係数から定数項まで、カンマ区切りで並べてください。次数が抜ける項にはゼロを省略せず入力してください。省略すると残りの係数がすべて誤った次数に割り当てられます。入力例：x³ − 3x² + 2x + 5 → 「1, -3, 2, 5」、2x⁴ − 7 → 「2, 0, 0, 0, -7」、定数 4 → 「4」。次数は常に入力した値の個数から 1 を引いた数になります。 次のおすすめ 多項式の微分計算 多項式の係数と評価点 x を入力すると、P(x)・P'(x)・接線の方程式をグラフとともに計算します。 詳しく解説多項式の定積分 多項式 P(x) の定積分 ∫_a^b P(x) dx を厳密に計算します。係数を高次から順にカンマ区切りで入力し、積分区間を指定すると原始関数と積分値を求めます。 詳しく解説二次方程式の解 ax² + bx + c = 0 を解きます。3つの係数を入力すると、判別式と2つの解（実数または複素数）が求まります。 詳しく解説三次方程式の解 ax³+bx²+cx+d=0 の係数から判別式と全解を求めます。カルダーノの公式と三角関数法を使い分け、実数解・複素共役解を一括表示します。 詳しく解説 200+ ツール · 10 言語対応 · 完全無料 代数の他の計算 2元連立一次方程式の解（クラメールの公式）一次方程式の計算（ax + b = c）行列の積（2×2・3×3）三次方程式の解絶対値方程式の解（|ax + b| = c）多項式の値の計算（ホーナー法） +5 more Show less 多項式の定積分多項式の微分計算二次方程式の解判別式の計算平方完成の計算 数学の他のカテゴリ 平面幾何 2点を通る直線の方程式2点間の距離計算ピタゴラスの定理の計算円の弦と弧の計算円の面積・円周の計算円環面積の計算円弧の長さの計算三角形の外接円の計算三角形の計算（ASA）― 1辺と2角から全要素を求める三角形の計算（SAS）― 2辺と夾角から全要素を求める三角形の計算（SSS）― 3辺から全要素を求める三角形の面積計算正三角形の計算正多角形の計算扇形の面積計算楕円の面積・周の長さの計算台形の面積計算中点計算ツール直角三角形の計算直角二等辺三角形（45-45-90）の計算直線の傾き計算ツール点と直線の距離二等辺三角形の計算平行四辺形の面積計算立体幾何 トーラス体積の計算円錐の体積・表面積の計算円錐台（切頭円錐）の計算円柱の体積・表面積の計算球の体積・表面積の計算四角錐の体積・表面積の計算四角錐台の体積楕円体の体積・表面積の計算直方体の体積・表面積の計算半球の体積・表面積の計算立方体の計算 — 体積・表面積・対角線三角法 ベクトルの大きさの計算外積の計算（3次元ベクトル）逆三角関数の計算（arcsin・arccos・arctan）三角関数の計算（sin・cos・tan）正弦定理 — AAS（二角一辺）の計算内積の計算余弦定理の計算統計 Zスコア計算ツールパーセンタイルと四分位数の計算ピアソン相関係数の計算ツール加重平均の計算幾何平均の計算記述統計量計算ツール誤差率（百分率誤差）の計算信頼区間の計算分散・標準偏差の計算平均・中央値・最頻値の計算変動係数（CV）の計算確率 カード確率の計算サイコロ確率の計算ポアソン分布の計算階乗の計算（n!）幾何分布の計算順列の計算 — P(n, r)条件付き確率・ベイズの定理計算ツール正規分布計算ツール組み合わせの計算 — C(n, r)二項確率の計算離散確率変数の期待値の計算数列・級数 フィボナッチ数列の計算等差数列の計算等比数列の計算平均変化率計算ツール数論 n乗根の計算ローマ数字変換ツール合同算術の計算最大公約数・最小公倍数の計算指数表記（科学的記数法）変換器数値の丸め整除性チェッカー素因数分解の計算素数チェッカー対数の計算累乗の計算分数・パーセント パーセント計算比・比例の計算分数・小数・百分率の変換分数の四則演算 この計算機は役に立ちましたか？ 役に立った 改善が必要 改善が必要 どのような点が改善されると良いですか？ フィードバックを送信 Powered by OneCalc ↗
最終更新: 2026-06-06 多項式の値の計算とホーナー法 多項式 P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ は、実数 x に対して一つの値を対応させる関数です。与えられた x での値を求める操作を「多項式の値の計算（多項式評価）」といい、数値計算・信号処理・コンピュータグラフィクスなど幅広い場面で用いられます。 ホーナー法の仕組み 多項式を「そのまま」計算しようとすると、x² = x·x、x³ = x²·x のように各べき乗を都度求め、それぞれに係数を掛けて合計する手順になります。n 次多項式の場合、この素朴な方法では最大で n(n+1)/2 回の乗算が必要です。 ホーナー法（Horner's method）は、同じ多項式を入れ子の積として書き直すことで、この回数を n 回まで削減します。 P(x)=(⋯((an⋅x+an−1)⋅x+an−2)⋅x+⋯+a1)⋅x+a0P(x) = (\cdots((a_n \cdot x + a_{n-1}) \cdot x + a_{n-2}) \cdot x + \cdots + a_1) \cdot x + a_0 処理手順は単純です。先頭の係数 aₙ を初期値とし、係数を順に読み込みながら「現在の値に x を掛けて次の係数を加える」操作を n 回繰り返します。 r←r⋅x+an−k(k=1,2,…,n)r \leftarrow r \cdot x + a_{n-k} \quad (k = 1, 2, \ldots, n) n 回の操作が終わると、r に P(x) の値が得られます。理論的にも、多項式評価に必要な乗算回数の下限は n 回であることが証明されており、ホーナー法はこの下限を達成しています。 計算例 P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5 を x = 2 で評価します（係数：1, −3, 2, 5）。 ステップ操作蓄積値初期化r = 11k = 1r = 1 × 2 + (−3) = −1−1k = 2r = −1 × 2 + 2 = 00k = 3r = 0 × 2 + 5 = 55 P(2) = 5 となります。直接計算で確認すると 2³ − 3 × 2² + 2 × 2 + 5 = 8 − 12 + 4 + 5 = 5 で一致します。 素朴な計算法との比較 次数が大きくなるほど、両者の乗算回数の差は顕著になります。 次数素朴な方法（乗算回数）ホーナー法（乗算回数）23251551055102021020 演算回数の削減に加えて、ホーナー法は数値安定性でも優れています。べき乗計算を避けるため中間値の桁数が抑えられ、係数の大きさが極端に異なる場合でも桁落ちが起こりにくい特性があります。 係数の入力方法 係数は最高次の項から定数項の順に、カンマ区切りで入力します。次数が抜ける項のゼロは省略できません。省略すると残りの係数がすべて誤った次数に対応してしまいます。 多項式入力する係数x³ − 3x² + 2x + 51, -3, 2, 52x² + 3x − 12, 3, -1x⁴ − 11, 0, 0, 0, -1−3x + 7-3, 7定数 44 次数は常に入力した値の個数から 1 を引いた数です。値が 1 つだけの場合は 0 次（定数）多項式になります。 組立除法との関係 ホーナー法は、多項式を 1 次式 (x − c) で割る組立除法と代数的に等価です。P(x) を (x − c) で除したとき、余りが P(c)、商の多項式を Q(x) とすると次の恒等式が成り立ちます。 P(x)=(x−c) Q(x)+P(c)P(x) = (x - c)\,Q(x) + P(c) この商の多項式 Q(x) を c で評価した値 Q(c) は P′(c) に等しく、1 回のホーナー計算で P(c) と P′(c) を同時に得られます。ニュートン法による方程式の根の探索は、この性質を利用して各反復ステップで値と微分値の両方を求める手法です。 応用分野 多項式評価は工学・情報科学の多くの場面で基盤的な役割を担っています。 コンピュータグラフィクス — ベジェ曲線やスプライン曲線は媒介変数を持つ多項式であり、3 次ベジェ曲線の描画には 1 フレームあたり何百回もの多項式評価が必要です。 デジタル信号処理 — FIR（有限インパルス応答）フィルタの演算は Z 領域での多項式乗算に対応し、各サンプルでホーナー法が適用されます。 数値的根の探索 — ニュートン法は各反復で P(x₀) と P′(x₀) の両方を評価しますが、いずれも 1 回のホーナー計算から得られます。 誤り検出符号 — CRC（巡回冗長検査）は GF(2) 上の多項式の剰余算であり、その中心にホーナーのループがあります。 制御理論 — ラプラス変換域またはZ変換域の伝達関数は有理多項式であり、特性多項式の虚軸上での評価が安定性解析に必要です。 関連する計算 P′(x) を P(x) と同時に求めるには 多項式の微分計算 を、多項式の定積分には 多項式の定積分 を使用してください。P(x) = 0 の解を求めるには 二次方程式の解（2次） または 三次方程式の解（3次） が利用できます。 よくある質問 (FAQ)ホーナー法とはどのような方法ですか？ホーナー法（組立計算法とも呼ばれます）は、多項式 P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ を入れ子の積の形 P(x) = (…((aₙ · x + aₙ₋₁) · x + aₙ₋₂) · x + … + a₁) · x + a₀ に書き直して評価するアルゴリズムです。各ステップで現在の値に x を掛けて次の係数を加えるだけでよく、n 次多項式の評価に必要な演算は乗算 n 回・加算 n 回（これ以上少なくできない最小値）です。 ホーナー法はなぜ直接計算より効率的なのですか？直接計算では各べき乗を個別に求めます（x² = x·x、x³ = x²·x など）。n 次多項式の場合、この方法では最大で n(n+1)/2 回の乗算が必要です。ホーナー法は途中結果を再利用することで、乗算を n 回・加算を n 回に削減します。たとえば 20 次多項式なら、直接計算の 210 回に対しホーナー法では 20 回で済みます。また、中間値が小さく抑えられるため、桁落ちによる数値誤差も生じにくくなります。 ホーナー法を使って導関数の値を求めることはできますか？できます。組立除法（多項式の合成除法）はホーナー法と代数的に等価であり、一度の処理で P(x₀) と P′(x₀) を同時に得られます。P(x) を (x − x₀) で除したときの余りが P(x₀)、商の多項式 Q(x) を x₀ で評価した値 Q(x₀) が P′(x₀) に等しいという恒等式 P(x) = (x − x₀)Q(x) + P(x₀) が根拠です。P(x) と P′(x) を同時に評価するには、このサイトの多項式導関数計算機をご利用ください。 係数の入力方法を教えてください。最高次の項の係数から定数項まで、カンマ区切りで並べてください。次数が抜ける項にはゼロを省略せず入力してください。省略すると残りの係数がすべて誤った次数に割り当てられます。入力例：x³ − 3x² + 2x + 5 → 「1, -3, 2, 5」、2x⁴ − 7 → 「2, 0, 0, 0, -7」、定数 4 → 「4」。次数は常に入力した値の個数から 1 を引いた数になります。
