最後更新：2026-07-13

毛細管上升

毛細管上升是指液體在不施加任何壓力的情況下，藉由表面張力沿著細管逆著重力向上攀升的現象。將一根細玻璃管插入水中，水便會在管內上升，並在周圍水面之上形成一個彎曲的液面，即彎月面。相同的效應會把水吸入紙巾、將墨水引到筆尖，並使水分沿土壤與多孔磚塊向上移動。朱林定律把這個日常觀察轉化為簡單而定量的預測。

方程式

對於插入潤濕性液體的細圓管，平衡時的上升高度為：

$h = \frac{2\gamma \cos\theta}{\rho\, g\, r}$

其中 $h$ 為上升高度，$\gamma$ 為液體的表面張力，$\theta$ 為液體與管壁之間的接觸角，$\rho$ 為液體密度，$g$ 為重力加速度，$r$ 為管的內半徑。上升高度隨表面張力增大而增大，隨密度與半徑增大而減小：管越細，上升越高。

符號表

所採用的 $g$ 值為標準重力加速度 $9.80665\ \text{m/s}^2$。

公式的由來

在平衡狀態下，表面張力沿著液體與管壁相接的圓周向上的拉力，與被抬升液柱的重量相平衡。表面張力沿著周長為 $2\pi r$ 的接觸線作用，其鉛直分量為 $\gamma\cos\theta$，因而向上的力為 $2\pi r\,\gamma\cos\theta$。高度為 $h$、截面積為 $\pi r^2$ 的液柱重量為 $\rho g\,\pi r^2 h$。令兩者相等，

$2\pi r\,\gamma\cos\theta = \rho g\,\pi r^2 h,$

再對 $h$ 求解即得朱林定律。正是 $\cos\theta$ 這一項使潤濕性液體上升、不潤濕液體下降。

例題

接觸角的作用

接觸角衡量液體潤濕管子的程度。當對管壁的附著力勝過液體內部的內聚力時，角度較小：潔淨玻璃上的水接近 0°，故 $\cos\theta \approx 1$，上升達到最大。隨著表面變得較不易潤濕，角度增大，$\cos\theta$ 減小，上升隨之下降。恰好在 90° 時餘弦為零，完全沒有上升。

超過 90° 時餘弦變為負值，公式便預測出負的高度——液體被壓到外部液面之下。這就是毛細管下降，玻璃管中的水銀是典型例子：其接觸角約為 140°，因此水銀是下降而非上升。

為何較細的管子把液體抬得更高

由於 $h$ 與 $r$ 成反比，將管半徑減半便使上升加倍。向上的力隨周長（$2\pi r$）變化，而它必須支撐的重量則隨截面積（$\pi r^2$）乘以高度變化。因此力與所支撐重量之比會隨管子變細而變得有利，使細管把液體抬得遠比寬管高。這也是為何土壤、織物與吸墨紙的細孔能如此有效地吸取液體，而同樣的液體在寬容器中卻幾乎不上升。

吸取、植物與多孔材料

毛細作用會使液體通過任何細通道網絡移動——紙巾的纖維、海綿的孔隙、土壤顆粒之間的空隙。在植物中，毛細作用有助於把水引入狹窄的木質部導管，但單靠它只能抬升水分一小段距離。要到達高大樹木的頂端，主要依賴蒸散拉力：葉片上的蒸發使水柱處於張力之下，而內聚力使水柱保持完整。毛細作用只是眾多貢獻之一，在表面張力凌駕於重力之上的小尺度中最為重要。

簡化公式失效之處

朱林定律假設一根細而均勻的圓形管，其中彎月面近乎球形，且沿彎月面的重力可忽略。它還假設表面潔淨，接觸角明確且穩定。在寬管中彎月面會變平，球形近似失效，公式便高估上升。汙染、界面活性劑、溫度變化以及粗糙或不均勻的管壁都會改變接觸角與表面張力，因此實測值可能與理想預測不同。真實土壤與織物中那種非圓形或彼此相連的孔隙，則需要更精細的模型。

相關工具

若要把液柱高度與其底部壓力聯繫起來，請使用 靜水壓力計算機。至於在流體中沉降的小顆粒所受的黏滯阻力，請參閱 斯托克斯定律計算器；而通過細管的穩定流動，則可用 哈根-帕松流量計算器，它把相同的細管幾何套用於體積流量。