最後更新：2026-06-04

指數的定義

指數（次方）運算表示重複乘法。$b^n$ 的意義是底數 $b$ 自乘 $n$ 次：

$$b^n = \underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{n \text{ 個因子}}$$

其中 $b$ 稱為底數，$n$ 稱為指數（或冪次）。例如，$2^{10} = 1024$，即 2 連乘 10 次的結果。

基本指數法則

以下六條法則說明指數在各種算術運算下的行為，均可直接從重複乘法的定義推導而來。

乘法律（同底數相乘，指數相加）： $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$

除法律（同底數相除，指數相減）： $\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n} \quad (b \neq 0)$

乘方律（乘方再乘方，指數相乘）： $(b^m)^n = b^{mn}$

積的乘方（乘積的指數分配律）： $(ab)^n = a^n \cdot b^n$

零次方（任意非零底數的 0 次方等於 1）： $b^0 = 1 \quad (b \neq 0)$

負指數（負指數表示取倒數）： $b^{-n} = \frac{1}{b^n} \quad (b \neq 0)$

負指數

負指數表示對結果取倒數。例如：

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125$

這可由除法律推導：$b^0 / b^n = 1 / b^n = b^{-n}$。負指數在科學記號中用於表示極小的數值（$10^{-9}$ 即 1 奈米），也出現在物理量的單位表示中（如速度單位 $\text{m} \cdot \text{s}^{-1}$）。底數為零時，負指數無定義。

分數指數與根號

分數指數表示根號運算，其一般形式為：

$b^{m/n} = \sqrt[n]{b^m} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m$

常見情形：

表達式	等效根號	範例
$b^{1/2}$	$\sqrt{b}$	$9^{1/2} = 3$
$b^{1/3}$	$\sqrt[3]{b}$	$8^{1/3} = 2$
$b^{2/3}$	$\sqrt[3]{b^2}$	$27^{2/3} = 9$
$b^{3/4}$	$\sqrt[4]{b^3}$	$16^{3/4} = 8$

分數指數要求底數為非負數，才能確保結果為實數（若指數化簡後分母為奇數，負底數亦可使用）。

倒數

$b^n$ 的倒數為 $b^{-n} = 1/b^n$，兩者滿足 $b^n \cdot b^{-n} = b^0 = 1$。底數為零且指數為正時（$b^n = 0$），倒數無定義。

$0^0$ 的慣例

當底數與指數均為 0 時，$0^0$ 在數學分析中屬於不定式（因為從 $0^x$ 與 $x^0$ 兩個方向趨近的極限值不同）。然而，在離散數學、組合數學與程式設計領域，$0^0$ 普遍定義為 1，以確保二項式定理、冪級數等公式在邊界情況下的一致性。本計算機採用 $0^0 = 1$ 的慣例。

計算範例

輸入： 底數為 3，指數為 4

$b^n = 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

倒數：

$b^{-n} = 3^{-4} = \frac{1}{81} \approx 0.012346$

以乘法律驗證：

$3^4 \cdot 3^{-4} = 3^{4+(-4)} = 3^0 = 1 \checkmark$

應用場景

領域	範例
複利計算	$A = P(1 + r)^t$ — 本金 $P$ 以年利率 $r$ 經過 $t$ 年後的終值 $A$
電腦儲存	$2^{10} = 1024$ 位元組為 1 KB；$2^{30}$ 位元組為 1 GB
科學記號	$6.022 \times 10^{23}$（亞佛加厥數）；$1.6 \times 10^{-19}$ C（電子電荷）
訊號處理	功率比例為 $10^{dB/10}$；電壓（振幅）比例為 $10^{dB/20}$
放射性衰變	$N(t) = N_0 \cdot (1/2)^{t/t_{1/2}}$ — 經過時間 $t$ 後的剩餘量

常見問題（FAQ）

0 的 0 次方等於多少？

在數學與電腦科學的多數領域中，0⁰ 慣例上定義為 1。其依據是「空乘積」的概念——零個因子的乘積等於乘法的單位元素 1。這項慣例使二項式定理、泰勒展開式等公式在邊界情況下保持一致性。在數學分析的部分進階情境中，0⁰ 被視為不定式，但在算術與組合數學中，公認值為 1。

負指數代表什麼意思？

負指數表示取倒數。依定義，b^(−n) = 1 / b^n。例如，2^(−3) = 1 / 2³ = 1/8 = 0.125。負指數在單位換算（如速度單位 km s^(−1)）及科學記號中表示極小數值（1 × 10^(−9) 即 1 奈米）時經常出現。底數不能為零，否則分母為零，結果無定義。

分數指數代表什麼意思？

分數指數表示根號運算：b^(1/n) 即 b 的 n 次方根，b^(m/n) = (b^m)^(1/n)。例如，8^(1/3) = ∛8 = 2，而 16^(3/4) = (16^(1/4))³ = 2³ = 8。分數指數使整數乘方的運算規律能平滑延伸，廣泛應用於代數、微積分與物理學。為確保結果為實數，底數須為非負數（或指數化簡後分母為奇數的情況下，負底數亦可）；負底數搭配一般分數指數會產生複數。

相同底數的乘方相乘時，為何指數可以直接相加？

計算 b^m × b^n 時，相當於將 m 個 b 與 n 個 b 合併，共得 m + n 個 b 連乘，因此結果為 b^(m+n)。例如，2³ × 2⁴ = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 2⁷ = 128。這是乘方的乘法律，即同底數乘方相乘，指數相加。對應地，除法律為 b^m / b^n = b^(m−n)，而乘方的乘方律則為 (b^m)^n = b^(m×n)。