最後更新：2026-06-05

矩陣乘法的定義

矩陣乘法是線性代數的核心運算，用於將兩個矩陣合成為一個。給定 n×n 矩陣 A 與 B，乘積 C = A·B 的每個元素 $c_{ij}$ 由 A 的第 i 列與 B 的第 j 行的內積決定：

$$c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \, b_{kj}$$

換言之，結果矩陣第 i 列第 j 行的值，等於 A 第 i 列各元素與 B 第 j 行對應元素的乘積總和。

計算規則

以 2×2 矩陣為例，完整展開如下：

$$A \cdot B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{pmatrix}$$

對於 n×n 矩陣，每個元素需要 n 次乘法與 n−1 次加法，因此整體運算量為 O(n³)。

計算範例（2×2）

設 A = [[1, 2], [3, 4]]，B = [[5, 6], [7, 8]]，逐步計算各元素：

**元素 (1,1)：**A 第 1 列與 B 第 1 行的內積

$c_{11} = 1 \times 5 + 2 \times 7 = 5 + 14 = 19$

**元素 (1,2)：**A 第 1 列與 B 第 2 行的內積

$c_{12} = 1 \times 6 + 2 \times 8 = 6 + 16 = 22$

**元素 (2,1)：**A 第 2 列與 B 第 1 行的內積

$c_{21} = 3 \times 5 + 4 \times 7 = 15 + 28 = 43$

**元素 (2,2)：**A 第 2 列與 B 第 2 行的內積

$c_{22} = 3 \times 6 + 4 \times 8 = 18 + 32 = 50$

因此 A·B = [[19, 22], [43, 50]]。

非交換性

矩陣乘法不滿足交換律，即一般而言 A·B ≠ B·A。以上方的 A、B 為例，交換順序後：

$$B \cdot A = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$$

A·B = [[19, 22], [43, 50]] 與 B·A = [[23, 34], [31, 46]] 是兩個不同的矩陣。這與純量乘法的交換律（如 3 × 5 = 5 × 3）截然不同。

從幾何角度理解：A·B 意指「先套用 B，再套用 A」，而 B·A 意指「先套用 A，再套用 B」。不同的變換順序通常產生不同的結果，因此不可交換。

幾何意義

方陣代表向量空間上的線性變換，可以是旋轉、縮放、反射或錯切的任意組合。計算 A·B，等同於將 B 所代表的變換與 A 所代表的變換依序合成為單一變換。

這種合成性質說明了矩陣乘法滿足結合律（A·(B·C) = (A·B)·C），因為無論以哪種方式分組，三個變換的先後順序不變；但不滿足交換律，因為先後順序本身會改變最終結果。

單位矩陣

n×n 單位矩陣 I 的對角線元素為 1，其餘元素為 0，在矩陣乘法中扮演「乘以 1」的角色：

$A \cdot I = I \cdot A = A$

將任何矩陣與單位矩陣相乘，結果不變。從幾何角度看，I 代表「不做任何變換」——無旋轉、無縮放。單位矩陣是矩陣乘法中唯一同時滿足左乘與右乘皆與 A 可交換的矩陣（對任意 A 成立）。

應用領域

矩陣乘法在多個領域中是核心工具：

• 3D 圖形： 旋轉、縮放與平移各以 4×4 矩陣（齊次座標）表示，將多個變換矩陣相乘後，圖形處理器（GPU）只需對每個頂點執行一次矩陣向量乘法，大幅提升渲染效能。
• 線性方程組： 方程組 Ax = b 可透過求 A 的逆矩陣 A⁻¹ 來解出，而矩陣乘法是計算 A⁻¹b 的基礎運算。
• 神經網路： 全連接層的前向傳播本質上是矩陣乘法——將輸入向量乘以權重矩陣，再加上偏置向量，構成仿射變換。深度學習框架的效能優化多以加速矩陣乘法為核心。

常見問題（FAQ）

矩陣乘法具有交換律嗎？

一般情況下不具有交換律，即 A·B ≠ B·A。以 A = [[1,2],[3,4]]、B = [[5,6],[7,8]] 為例：A·B = [[19,22],[43,50]]，而 B·A = [[23,34],[31,46]]，結果不同。單位矩陣或對角矩陣等特殊情況可能滿足交換律，但這屬於例外，而非通則。

矩陣乘法的幾何意義為何？

每個方陣代表一種線性變換，例如旋轉、縮放、反射或錯切。計算 A·B 等同於將兩個變換合成為一個：先套用 B，再套用 A。由於先後順序不同會得到不同結果，這也是矩陣乘法不可交換的幾何原因。

非方陣可以相乘嗎？

可以，但前提是左矩陣的行數（欄數）必須等於右矩陣的列數（行數）。一個 m×n 矩陣乘以 n×p 矩陣，結果為 m×p 矩陣。本工具專注於線性代數課程與 2D/3D 圖形中最常用的 2×2 與 3×3 方陣情形。

矩陣乘法在 3D 圖形程式中如何應用？

在 3D 圖形中，旋轉、縮放、平移等每一種變換都以 4×4 矩陣（齊次座標形式）表示。將多個變換矩陣依序相乘，可得到一個合成矩陣，再將其套用至每個頂點，即完成所有幾何變換。這種方式大幅減少運算量，也是圖形處理器（GPU）針對矩陣乘法進行高度最佳化的原因。