首頁 數學 第 n 次方根計算 產生日期: 2026年6月13日 下午06:02 第 n 次方根計算 輸入 被開方數27根次數3 數學 第 n 次方根計算 輸入被開方數與根次數，計算任意實數的第 n 次方根（主值）。支援立方根、四次方根及更高次方根，偶數根次顯示負實數根。 輸入 被開方數 要開根號的數。根次數為奇數時可為任意實數；根次數為偶數時須為非負數。 根次數 根的次數，須為大於或等於 2 的正整數（2 代表平方根，3 代表立方根，依此類推）。 結果 輸入數值即可顯示計算結果。 第 n 次方根（主值） 27 的第 3 次方根主值。根次數為奇數時恆為實數；根次數為偶數時，27 須大於或等於零方有實數解。 x = 27n = 3 第 n 次方根（主值） \begin{aligned} \sqrt[n]{x} &= \operatorname{sign}(x)\cdot|x|^{1/n} \\ &= \operatorname{sign}(27)\cdot|27|^{1/3} \\ &= ? \end{aligned} 分享 列印報告 重設 嵌入 嵌入這個計算機 預覽 將這段程式碼貼到您的網頁中即可顯示計算機。 複製程式碼 分享這個計算 開啟此連結的人都會看到您填入的數值。 複製連結 分享至 XFacebookLINE 電子郵件 最後更新：2026-06-05 第 n 次方根的定義 若實數 rr 自乘 nn 次等於 xx，亦即 rn=xr^n = x，則稱 rr 為 xx 的第 nn 次方根。根次數 nn 須為大於或等於 2 的正整數，xx 稱為被開方數。 當 n=2n = 2 時，稱為平方根；n=3n = 3 時為立方根；n=4n = 4 時為四次方根，依此類推。 主值的定義 第 nn 次方根可能不只一個實數解（詳見下文），因此引入主值的概念，以確保函數傳回唯一確定的值： xn=sign(x)⋅∣x∣1/n\sqrt[n]{x} = \operatorname{sign}(x) \cdot |x|^{1/n}nx=sign(x)⋅∣x∣1/n 其中 sign(x)\operatorname{sign}(x) 為符號函數：x>0x > 0 時為 +1+1，x<0x < 0 時為 −1-1，x=0x = 0 時為 00。 根次數為奇數：xx 可為任意實數，主值與 xx 同號。例如，−83=−2\sqrt[3]{-8} = -2，因為 (−2)3=−8(-2)^3 = -8。 根次數為偶數：xx 須為非負數，主值恆為非負值。例如，814=3\sqrt[4]{81} = 3。偶數次根的被開方數若為負數，在實數範圍內無解。 計算公式 xn=sign(x)⋅∣x∣1/n\sqrt[n]{x} = \operatorname{sign}(x) \cdot |x|^{1/n}nx=sign(x)⋅∣x∣1/n −xn=−sign(x)⋅∣x∣1/n-\sqrt[n]{x} = -\operatorname{sign}(x) \cdot |x|^{1/n}−nx=−sign(x)⋅∣x∣1/n 根次數為偶數且 x>0x > 0 時，同時存在正的主值與負的實數根，兩者絕對值相等、符號相反。 計算範例 範例一：立方根（奇數根次） 求 −273\sqrt[3]{-27}： −273=sign(−27)⋅∣−27∣1/3=−1×271/3=−1×3=−3\sqrt[3]{-27} = \operatorname{sign}(-27) \cdot |-27|^{1/3} = -1 \times 27^{1/3} = -1 \times 3 = -33−27=sign(−27)⋅∣−27∣1/3=−1×271/3=−1×3=−3 驗算：(−3)3=−27(-3)^3 = -27 ✓ 範例二：四次方根（偶數根次） 求 6254\sqrt[4]{625} 及其負實數根： 6254=6251/4=5\sqrt[4]{625} = 625^{1/4} = 54625=6251/4=5 負實數根：−6254=−5-\sqrt[4]{625} = -5 驗算：54=6255^4 = 625，(−5)4=625(-5)^4 = 625 ✓ 範例三：非整數結果 求 1005\sqrt[5]{100}： 1005=1001/5≈2.511886\sqrt[5]{100} = 100^{1/5} \approx 2.5118865100=1001/5≈2.511886 第 n 次方根與分數指數 第 nn 次方根與分數指數為等價運算： xn=x1/n\sqrt[n]{x} = x^{1/n}nx=x1/n 這由指數法則 (xa)b=xab(x^a)^b = x^{ab} 推導得出：(x1/n)n=xn/n=x1=x(x^{1/n})^n = x^{n/n} = x^1 = x，確認 x1/nx^{1/n} 是 nn 次方的逆運算。更一般地，xm/n=xmnx^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}，同時結合了乘冪與開根號。 多個實數根 方程式 tn=xt^n = x 的實數根個數取決於 nn 的奇偶性： 情況實數根個數說明nn 為奇數，x≠0x \neq 01主值即唯一實數根nn 為偶數，x>0x > 02主值（正）與負實數根各一個nn 為偶數，x=0x = 01唯一根為 0nn 為偶數，x<0x < 00實數範圍內無解，結果為複數 在複數範圍內，任何非零數恰好有 nn 個相異的第 nn 次方根，均勻分布於複數平面的圓周上。 偶數根次不適用於負數 偶數次方（如 t2t^2、t4t^4）的結果恆為非負值，因此無論 tt 取何實數，t2kt^{2k} 的結果都不可能為負數。換言之，負數的偶數次方根在實數範圍內不存在。 例如，−9\sqrt{-9} 在實數中無解，因為不存在任何實數 tt 使得 t2=−9t^2 = -9。此情形的計算結果為複數（涉及虛數單位 i=−1i = \sqrt{-1}），但本計算機僅輸出實數根。 實際應用 第 nn 次方根在理工與日常計算中有廣泛應用： 幾何：正方體的邊長 =V3= \sqrt[3]{V}（VV 為體積）；超立方體的邊長 =Vn= \sqrt[n]{V}。 統計：幾何平均數等於乘積的第 nn 次方根，用於計算平均成長率。 財務：複利年均成長率（CAGR）=Vn/V0n−1= \sqrt[n]{V_n / V_0} - 1，其中 nn 為年數。 物理：根據斯特藩-波茲曼定律，由輻射功率反算物體溫度時需開四次方根。 與其他運算的關係 第 nn 次方根是 nn 次方的反函數：(xn)n=x(\sqrt[n]{x})^n = x（x≥0x \geq 0 或 nn 為奇數）。 對數可用於計算任意次方根：ln(xn)=1nlnx\ln(\sqrt[n]{x}) = \frac{1}{n} \ln x。 指數運算的換算規則：xm/n=xmn=(xn)mx^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m。 常見問題（FAQ）負數可以開偶數次方根嗎？在實數範圍內不可以。偶數次方根要求被開方數為非負數，因為任何實數自乘偶數次後結果均為非負值。例如，3² = 9 且 (−3)² = 9，因此 √(−9) 在實數中無解。負數的偶數次方根屬於複數（涉及虛數單位 i），本計算機不計算複數根。 平方根符號 √x 與第 n 次方根主值有何差異？平方根符號 √ 表示非負的主值平方根，是根次數 n = 2 時的特例。第 n 次方根主值定義為與 x 同號的實數根：x 為正時主值為正，x 為負且根次數為奇數時主值為負。「主值」的慣例確保函數傳回唯一且明確的值。 第 n 次方根與分數指數有什麼關係？第 n 次方根與分數指數是等價運算：$^n\sqrt{x} = x^{1/n}$。這由指數法則 $(x^a)^b = x^{ab}$ 推導得出：$(x^{1/n})^n = x^{n/n} = x$，確認 $x^{1/n}$ 確實是 $n$ 次方的逆運算。更一般地，$x^{m/n} = ^n\sqrt{x^m}$，同時結合了乘冪與開根號。工程計算機通常使用 $y^x$ 或 $x^{1/n}$ 鍵計算任意次方根。 為什麼第 n 次方根不只一個？方程式 $t^n = x$ 的解的個數取決於 n 的奇偶性。n 為偶數且 x > 0 時，$t = ^n\sqrt{x}$ 與 $t = -^n\sqrt{x}$ 均滿足方程式，因此有兩個實數根。n 為奇數時恰好只有一個實數根（符號與 x 相同）。在複數範圍內，任何非零數均恰好有 n 個相異的第 n 次方根，均勻分布於複數平面的圓上，但本計算機僅處理實數根。 推薦的下一個 次方計算 計算底數 b 的 n 次方及其倒數 b^(−n)，支援正整數、負數與分數指數，並提供逐步推導過程。 深入了解對數計算機 計算任意正數的對數：底數 b 的對數、常用對數（log₁₀）、自然對數（ln）及二進位對數（log₂），輸入真數與底數即可一次取得所有結果。 深入了解二次方程式求解器 求解 ax² + bx + c = 0。輸入三個係數，即可得到判別式及兩個根——實數根或複數根。 深入了解 200+ 計算機 · 10 種語言 · 完全免費 更多數論 次方計算科學記數法轉換器第 n 次方根計算最大公因數與最小公倍數計算機對數計算機數字捨入計算機 +5 more Show less 模運算計算機質因數分解計算機質數判斷器整除性規則查驗器羅馬數字轉換器 其他數學計算機 代數 一次方程式計算機（ax + b = c）二元一次聯立方程組求解器 — 克拉瑪法則二次方程式判別式計算機二次方程式求解器三次方程式求解器多項式求值（霍納法）多項式定積分計算機多項式導數計算機矩陣乘法計算配方法計算機絕對值方程式求解器（|ax + b| = c）平面幾何 三角形計算機（ASA）— 一邊兩角求全部元素三角形計算機（SAS）— 兩邊夾角求全要素三角形計算機（SSS）— 三邊求全三角形面積計算機中點計算機外接圓計算機平行四邊形面積計算機正多邊形計算機兩點之間距離計算機兩點求直線方程式直角三角形計算機直線斜率計算機扇形面積計算機梯形面積計算機畢氏定理計算機等腰三角形計算機等腰直角三角形計算機（45-45-90）等邊三角形計算機圓弓形計算機圓形面積與周長計算機圓弧長計算機橢圓面積與周長計算機環形面積計算機點到直線距離計算機立體幾何 半球體積與表面積計算四角錐計算機正方體計算機 — 體積、表面積與對角線角錐台體積計算長方體計算機球體體積與表面積計算機圓台計算機（截頭圓錐）圓柱體積與表面積計算機圓錐體積與表面積計算機橢球體積與表面積計算機環形體體積計算機三角函數 三角函數計算機（sin、cos、tan）反三角函數計算機（arcsin、arccos、arctan）正弦定理計算機 — AAS 三角形求解向量大小計算機向量外積計算機（三維）餘弦定理計算機點積計算統計 加權平均計算機平均數、中位數與眾數計算機皮爾森相關係數計算機百分比誤差計算機百分位數與四分位數計算機信賴區間計算機幾何平均數計算描述統計計算機變異係數計算機變異數與標準差計算機Z分數計算機機率 二項分布機率計算機卜瓦松分配計算常態分佈計算機排列計算機 — P(n, r)條件機率與貝氏定理計算機組合計算機 — C(n, r)幾何分配計算機期望值計算機階乘計算機 – n!骰子機率計算機撲克牌機率計算機數列與級數 平均變化率計算機等比數列計算機等差數列計算機費氏數列計算機分數與百分比 分數 ↔ 小數 ↔ 百分率換算機分數四則運算計算機比例計算機百分比計算機 這個計算機對您有幫助嗎？ 有幫助 需要改進 需要改進 我們可以如何改進這個計算機？ 送出回饋 由 OneCalc 提供 ↗
最後更新：2026-06-05 第 n 次方根的定義 若實數 rr 自乘 nn 次等於 xx，亦即 rn=xr^n = x，則稱 rr 為 xx 的第 nn 次方根。根次數 nn 須為大於或等於 2 的正整數，xx 稱為被開方數。 當 n=2n = 2 時，稱為平方根；n=3n = 3 時為立方根；n=4n = 4 時為四次方根，依此類推。 主值的定義 第 nn 次方根可能不只一個實數解（詳見下文），因此引入主值的概念，以確保函數傳回唯一確定的值： xn=sign(x)⋅∣x∣1/n\sqrt[n]{x} = \operatorname{sign}(x) \cdot |x|^{1/n}nx=sign(x)⋅∣x∣1/n 其中 sign(x)\operatorname{sign}(x) 為符號函數：x>0x > 0 時為 +1+1，x<0x < 0 時為 −1-1，x=0x = 0 時為 00。 根次數為奇數：xx 可為任意實數，主值與 xx 同號。例如，−83=−2\sqrt[3]{-8} = -2，因為 (−2)3=−8(-2)^3 = -8。 根次數為偶數：xx 須為非負數，主值恆為非負值。例如，814=3\sqrt[4]{81} = 3。偶數次根的被開方數若為負數，在實數範圍內無解。 計算公式 xn=sign(x)⋅∣x∣1/n\sqrt[n]{x} = \operatorname{sign}(x) \cdot |x|^{1/n}nx=sign(x)⋅∣x∣1/n −xn=−sign(x)⋅∣x∣1/n-\sqrt[n]{x} = -\operatorname{sign}(x) \cdot |x|^{1/n}−nx=−sign(x)⋅∣x∣1/n 根次數為偶數且 x>0x > 0 時，同時存在正的主值與負的實數根，兩者絕對值相等、符號相反。 計算範例 範例一：立方根（奇數根次） 求 −273\sqrt[3]{-27}： −273=sign(−27)⋅∣−27∣1/3=−1×271/3=−1×3=−3\sqrt[3]{-27} = \operatorname{sign}(-27) \cdot |-27|^{1/3} = -1 \times 27^{1/3} = -1 \times 3 = -33−27=sign(−27)⋅∣−27∣1/3=−1×271/3=−1×3=−3 驗算：(−3)3=−27(-3)^3 = -27 ✓ 範例二：四次方根（偶數根次） 求 6254\sqrt[4]{625} 及其負實數根： 6254=6251/4=5\sqrt[4]{625} = 625^{1/4} = 54625=6251/4=5 負實數根：−6254=−5-\sqrt[4]{625} = -5 驗算：54=6255^4 = 625，(−5)4=625(-5)^4 = 625 ✓ 範例三：非整數結果 求 1005\sqrt[5]{100}： 1005=1001/5≈2.511886\sqrt[5]{100} = 100^{1/5} \approx 2.5118865100=1001/5≈2.511886 第 n 次方根與分數指數 第 nn 次方根與分數指數為等價運算： xn=x1/n\sqrt[n]{x} = x^{1/n}nx=x1/n 這由指數法則 (xa)b=xab(x^a)^b = x^{ab} 推導得出：(x1/n)n=xn/n=x1=x(x^{1/n})^n = x^{n/n} = x^1 = x，確認 x1/nx^{1/n} 是 nn 次方的逆運算。更一般地，xm/n=xmnx^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}，同時結合了乘冪與開根號。 多個實數根 方程式 tn=xt^n = x 的實數根個數取決於 nn 的奇偶性： 情況實數根個數說明nn 為奇數，x≠0x \neq 01主值即唯一實數根nn 為偶數，x>0x > 02主值（正）與負實數根各一個nn 為偶數，x=0x = 01唯一根為 0nn 為偶數，x<0x < 00實數範圍內無解，結果為複數 在複數範圍內，任何非零數恰好有 nn 個相異的第 nn 次方根，均勻分布於複數平面的圓周上。 偶數根次不適用於負數 偶數次方（如 t2t^2、t4t^4）的結果恆為非負值，因此無論 tt 取何實數，t2kt^{2k} 的結果都不可能為負數。換言之，負數的偶數次方根在實數範圍內不存在。 例如，−9\sqrt{-9} 在實數中無解，因為不存在任何實數 tt 使得 t2=−9t^2 = -9。此情形的計算結果為複數（涉及虛數單位 i=−1i = \sqrt{-1}），但本計算機僅輸出實數根。 實際應用 第 nn 次方根在理工與日常計算中有廣泛應用： 幾何：正方體的邊長 =V3= \sqrt[3]{V}（VV 為體積）；超立方體的邊長 =Vn= \sqrt[n]{V}。 統計：幾何平均數等於乘積的第 nn 次方根，用於計算平均成長率。 財務：複利年均成長率（CAGR）=Vn/V0n−1= \sqrt[n]{V_n / V_0} - 1，其中 nn 為年數。 物理：根據斯特藩-波茲曼定律，由輻射功率反算物體溫度時需開四次方根。 與其他運算的關係 第 nn 次方根是 nn 次方的反函數：(xn)n=x(\sqrt[n]{x})^n = x（x≥0x \geq 0 或 nn 為奇數）。 對數可用於計算任意次方根：ln(xn)=1nlnx\ln(\sqrt[n]{x}) = \frac{1}{n} \ln x。 指數運算的換算規則：xm/n=xmn=(xn)mx^{m/n} = \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m。 常見問題（FAQ）負數可以開偶數次方根嗎？在實數範圍內不可以。偶數次方根要求被開方數為非負數，因為任何實數自乘偶數次後結果均為非負值。例如，3² = 9 且 (−3)² = 9，因此 √(−9) 在實數中無解。負數的偶數次方根屬於複數（涉及虛數單位 i），本計算機不計算複數根。 平方根符號 √x 與第 n 次方根主值有何差異？平方根符號 √ 表示非負的主值平方根，是根次數 n = 2 時的特例。第 n 次方根主值定義為與 x 同號的實數根：x 為正時主值為正，x 為負且根次數為奇數時主值為負。「主值」的慣例確保函數傳回唯一且明確的值。 第 n 次方根與分數指數有什麼關係？第 n 次方根與分數指數是等價運算：$^n\sqrt{x} = x^{1/n}$。這由指數法則 $(x^a)^b = x^{ab}$ 推導得出：$(x^{1/n})^n = x^{n/n} = x$，確認 $x^{1/n}$ 確實是 $n$ 次方的逆運算。更一般地，$x^{m/n} = ^n\sqrt{x^m}$，同時結合了乘冪與開根號。工程計算機通常使用 $y^x$ 或 $x^{1/n}$ 鍵計算任意次方根。 為什麼第 n 次方根不只一個？方程式 $t^n = x$ 的解的個數取決於 n 的奇偶性。n 為偶數且 x > 0 時，$t = ^n\sqrt{x}$ 與 $t = -^n\sqrt{x}$ 均滿足方程式，因此有兩個實數根。n 為奇數時恰好只有一個實數根（符號與 x 相同）。在複數範圍內，任何非零數均恰好有 n 個相異的第 n 次方根，均勻分布於複數平面的圓上，但本計算機僅處理實數根。
