آخر تحديث: 2026-06-06

كثيرات الحدود وحساب قيمتها

كثير الحدود P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ تعبير جبري يُعيّن قيمة عددية لكل x حقيقي. الحساب المباشر لهذه القيمة — برفع x إلى كل أس على حدة، ثم الضرب في المعامل المقابل، ثم جمع الحدود — يستلزم نحو n(n+1)/2 ضربة لكثير حدود من الدرجة n. وقد وضع عالم الرياضيات البريطاني ويليام جورج هورنر عام 1819 طريقة تُرجع هذا العدد إلى n ضربة و n إضافة فحسب، بإعادة كتابة كثير الحدود على صورة حاصل ضرب متداخل:

$P(x) = (\cdots((a_n \cdot x + a_{n-1}) \cdot x + a_{n-2}) \cdot x + \cdots + a_1) \cdot x + a_0$

وتُوظّف هذه الصيغة كل نظام حسابي جبري حديث ومكتبة عددية برمجية، لما توفره من كفاءة وثبات عددي.

تقبل هذه الحاسبة معاملات كثير الحدود مرتبةً من الدرجة الأعلى إلى الحد الثابت (مثلاً: 1, -3, 2, 5 لـ x³ − 3x² + 2x + 5)، وقيمة x، وتُخرج درجة كثير الحدود وصيغته القياسية وقيمة P(x)، إلى جانب رسم بياني تفاعلي للمنحنى.

خوارزمية هورنر خطوة بخطوة

تبدأ الخوارزمية بتهيئة متراكم r بقيمة المعامل الأعظم aₙ، ثم تنفذ لكل معامل تالٍ عملية ضرب-وجمع واحدة:

$r \leftarrow r \cdot x + a_{n-k} \quad \text{for } k = 1, 2, \ldots, n$

بعد n خطوة يحمل المتراكم القيمة P(x). هذه الكفاءة مثلى: لا توجد خوارزمية تقييم متعددة الحدود تستخدم ضربات أقل من n.

مثال تطبيقي: حساب P(x) = x³ − 3x² + 2x + 5 عند x = 2 (المعاملات: 1, -3, 2, 5)

إذن P(2) = 5، وهو ما يؤكده الحساب المباشر: 8 − 12 + 4 + 5 = 5.

المقارنة مع الحساب التقليدي

في الحساب المباشر تُرفع x إلى كل أس بصورة مستقلة: x² = x·x، ثم x³ = x²·x، وهكذا، ويستلزم ذلك ما يصل إلى n(n+1)/2 ضربة قبل الجمع النهائي. تُعيد طريقة هورنر توظيف كل حاصل ضرب وسيط فتُخفض العدد إلى n ضربة و n إضافة فحسب.

تمتاز طريقة هورنر كذلك باستقرار عددي أعلى مقارنةً بالأسلوب التقليدي: تجنّب القيم الوسيطة الكبيرة يُقلّل من خطأ التلاشي الكارثي عند تباين المعاملات في حجمها.

إدخال المعاملات

تُرتَّب المعاملات من الحد ذي الدرجة الأعلى وصولاً إلى الحد الثابت، مفصولةً بفواصل. يجب إدراج الصفر لكل درجة غائبة؛ إهماله يُزيح المعاملات المتبقية عن درجاتها الصحيحة.

درجة كثير الحدود دائماً أقل بواحد من عدد القيم المدخلة. المعامل الواحد يُمثّل كثير حدود من الدرجة صفر (ثابتاً).

الصلة بالقسمة التركيبية

طريقة هورنر مكافئة جبرياً للـقسمة التركيبية — الأسلوب المختصر لقسمة كثير الحدود على عامل خطي (x − c). باقي القسمة يساوي P(c)، وكثير حدود الحاصل Q(x) يحقق المتطابقة:

$P(x) = (x - c)\,Q(x) + P(c)$

تمرير واحد بطريقة هورنر ينتج في آنٍ واحد P(c) والمعاملات الكاملة لـ Q(x). حساب Q(c) يعطي قيمة المشتقة P′(c)، وهو أساس طريقة نيوتن في إيجاد جذور المعادلات.

التطبيقات

تُوظَّف متعددات الحدود في مجالات علمية وهندسية عديدة:

• الرسوميات الحاسوبية. منحنيات بيزييه والشرائح (Splines) هي متعددات حدود بالمعامل t؛ رسم نقطة واحدة على منحنى بيزييه مكعب يستدعي تقييم كثير حدود من الدرجة الثالثة مئات المرات في كل إطار.
• معالجة الإشارات. مرشحات الاستجابة النبضية المحدودة (FIR) عبارة عن تقييم متعددات حدود في نطاق Z عند كل عينة.
• إيجاد الجذور. طريقة نيوتن لحل P(x) = 0 تحتاج في كل تكرار إلى حساب P(x₀) و P′(x₀) معاً، وكلاهما يُستخرج من تمرير هورنر الواحد.
• دوال التجزئة والتحقق. دوائر التحقق بالتكرار الدوري (CRC) تُقيّم كثير حدود ثنائياً مقسوماً على كثير حدود مولّد عبر حلقة هورنر فوق حقل GF(2).
• أنظمة التحكم. دوال النقل نسب متعددات حدود في s (تحويل لابلاس) أو z (تحويل Z)؛ تحليل الاستقرار يستلزم تقييم كثير الحدود المميز على المحور التخيلي.

التوسع والاستكمال

لحساب P′(x) إلى جانب P(x)، استخدم حساب مشتقة كثيرة الحدود عند نقطة. لتكامل كثير الحدود، استخدم حاسبة التكامل المحدد للكثيرات الحدود. لإيجاد جذور P(x) = 0، استخدم حل المعادلة التربيعية للدرجة الثانية أو حل المعادلة التكعيبية للدرجة الثالثة.