최종 업데이트: 2026-06-05

수 x의 n제곱근 ⁿ√x는 n제곱하여 x가 되는 수, 즉 rⁿ = x를 만족하는 r입니다. n = 2이면 우리에게 익숙한 제곱근이 되고, n = 3이면 세제곱근이 됩니다. 이 계산기는 주요 실수 n제곱근을 계산하며, n이 짝수이고 x > 0인 경우 음의 실수 근도 함께 표시합니다.

정의와 주요 근의 약속

x > 0이고 정수 n ≥ 2인 경우, rⁿ = x의 실수 해의 개수는 n의 홀짝에 따라 달라집니다.

• n이 짝수이면 양의 해와 음의 해, 두 개의 실수 근이 존재합니다.
• n이 홀수이면 정확히 하나의 실수 근이 존재합니다.

주요 n제곱근은 다음 조건을 만족하는 유일한 실수 근으로 정의됩니다.

• x ≥ 0이면 ⁿ√x ≥ 0 (양수 또는 0)
• x < 0이고 n이 홀수이면 ⁿ√x < 0 (음수 피개방수로 자연스럽게 확장)

이 약속 덕분에 ⁿ√x는 다가 함수가 아닌 하나의 입력에 하나의 출력을 반환하는 일가 함수가 됩니다. 근호 기호 ⁿ√는 항상 주요 근을 가리킵니다.

계산식

주요 n제곱근의 계산식은 다음과 같습니다.

여기서 sign(x)는 x > 0이면 +1, x = 0이면 0, x < 0이면 −1입니다. x > 0이면 이 식은 x^(1/n)으로 단순화됩니다. x < 0이고 n이 홀수인 경우, 이 식은 자동으로 음수 결과를 반환합니다. 예를 들어 ∛(−8) = sign(−8) · |−8|^(1/3) = −1 · 2 = −2입니다.

n제곱근과 분수 지수

n제곱근과 분수 지수 1/n은 동일한 연산입니다.

이 관계는 지수 법칙으로부터 도출됩니다. x^(1/n)을 n제곱하면 x^(n/n) = x^1 = x가 되므로, x^(1/n)은 n제곱의 역연산임을 알 수 있습니다. 이를 일반화하면 x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ)이 성립하며, 거듭제곱과 근을 하나의 분수 지수 표현으로 결합할 수 있습니다.

짝수 지수와 음수 피개방수

n이 짝수이면 어떤 실수 r에 대해서도 rⁿ은 반드시 0 이상입니다. 음수를 짝수 번 곱하면 양수가 되기 때문입니다. 따라서 x < 0일 때 rⁿ = x를 만족하는 실수 r은 존재하지 않으며, 해는 허수 단위 i를 포함하는 복소수가 됩니다.

예를 들어 √(−9)의 값은 −3이 아닙니다. (−3)² = 9이지 −9가 아니므로, −3은 −9의 제곱근이 될 수 없습니다. √(−9)의 정확한 값은 복소수 3i입니다.

풀이 예시

문제: 81의 네제곱근을 구하고, 두 개의 실수 네제곱근을 모두 확인하시오.

① 계산식 적용: ⁴√81 = 81^(1/4)

② 계산: 3⁴ = 81이므로 81^(1/4) = 3

③ 주요 네제곱근: 3

④ n = 4는 짝수이고 x = 81 > 0이므로 두 번째 실수 근이 존재: −3

⑤ 검증: (−3)⁴ = 81 ✓

81의 실수 네제곱근은 3과 −3이며, 주요 근은 3입니다.

실수 근의 개수

양수 x에 대한 실수 n제곱근의 개수는 아래 표와 같이 n의 홀짝에 따라 달라집니다.

복소수 범위에서는 0이 아닌 모든 수에 대해 정확히 n개의 서로 다른 n제곱근이 존재하며, 이 n개의 근은 복소 평면의 원 위에 등간격으로 배치됩니다. 주요 근은 그중 편각(각도)이 가장 작은 것으로 정의됩니다.

로그와의 관계

x > 0인 경우, n제곱근을 자연로그를 이용해 다음과 같이 표현할 수도 있습니다.

이 표현은 직접 거듭제곱 연산이 어려운 수치 알고리즘에서 활용됩니다. x < 0이고 n이 홀수인 경우에는 −(ⁿ√|x|)로 계산합니다.

활용 분야

• 기하학적 스케일링: 부피가 V인 정육면체의 한 변의 길이는 ∛V입니다.
• 복리 성장: 자산이 n기간 동안 F배로 성장했을 때, 기간당 성장 배수는 ⁿ√F입니다.
• 통계: n개의 수의 기하 평균은 그 곱의 n제곱근과 같습니다.
• 신호 처리: 제곱 평균 제곱근(RMS) 값에는 제곱근이 사용되며, 더 높은 차수의 평균에는 고차 n제곱근이 활용됩니다.