最後更新：2026-06-04

期望值的定義

離散隨機變數 $X$ 的期望值（expected value），記作 $E[X]$，是所有可能結果依其發生機率加權後的平均數。若隨機變數有 $n$ 個可能的結果 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，各自的機率為 $p_1, p_2, \ldots, p_n$，則：

$$E[X] = \sum_{i=1}^{n} p_i \cdot x_i$$

此公式的直觀含義是：每個結果的貢獻，等於其數值乘以它發生的可能性。機率越高的結果，對期望值的影響越大。

期望值在統計學與決策理論中是核心概念，又稱為一階動差，是衡量隨機變數「中心位置」的基本指標。

計算範例

假設某遊戲有三種結果：

結果值 $x_i$	機率 $p_i$
20 元	0.2
5 元	0.5
−10 元	0.3

套入公式：

$$E[X] = 20 \times 0.2 + 5 \times 0.5 + (-10) \times 0.3 = 4 + 2.5 - 3 = 3.5 \text{ 元}$$

期望值為 3.5 元，代表若此遊戲重複進行大量次數，每次的長期平均收益約為 3.5 元。

變異數與標準差

期望值描述的是分布的中心，但無法反映結果的分散程度。變異數（variance，$\sigma^2$）量化各結果偏離期望值的平均平方距離：

$$\sigma^2 = \sum_{i=1}^{n} p_i \cdot (x_i - E[X])^2$$

標準差（$\sigma$）是變異數的正平方根：

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$$

標準差與原始結果的單位相同，因此更便於解讀。標準差越大，各次試驗的結果越分散；標準差越小，結果越集中於期望值附近。

以上例計算變異數：

$$\sigma^2 = 0.2 \times (20-3.5)^2 + 0.5 \times (5-3.5)^2 + 0.3 \times (-10-3.5)^2$$ $$= 0.2 \times 272.25 + 0.5 \times 2.25 + 0.3 \times 182.25 = 54.45 + 1.125 + 54.675 = 110.25$$

標準差 $\sigma = \sqrt{110.25} \approx 10.5$ 元，顯示實際結果可能在期望值上下約 10 元內波動。

大數法則

大數法則（law of large numbers）是期望值理論的基礎定理：當獨立重複試驗的次數趨近無限，樣本平均值幾乎必然收斂至期望值 $E[X]$。

然而，這個收斂僅在大量試驗下成立，在少數幾次試驗中，實際結果與期望值之間的偏差可能相當顯著。標準差 $\sigma$ 正是量化這種短期不確定性的指標——$\sigma$ 越大，在有限次數試驗中偏離期望值的可能性越高。

以骰子為例：一顆公正骰子各點數機率均等，期望值為：

$$E[X] = \frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) = 3.5$$

擲 6 次不一定得到平均 3.5 點，但擲數千次後，平均值會穩定趨近 3.5。

實務應用

期望值的概念廣泛應用於以下領域：

• 保險定價：保險公司依各種損失事件的發生機率與損失金額，計算每份保單的期望損失，再加上營運費用與利潤，訂定保費。
• 投資決策：在評估多個投資方案時，比較各方案的期望報酬，並搭配標準差判斷風險程度。高期望報酬伴隨高標準差，不見得是最佳選擇。
• 賽局設計：當某賽局的期望值為零時，稱為公平賽局（fair game）。若 $E[X] > 0$，玩家在長期重複下有統計優勢；若 $E[X] < 0$，莊家佔有優勢。
• 品質管制：在製程中，期望值對應目標規格值，標準差反映製程的穩定程度。

機率分布的有效性

進行期望值計算前，必須確認機率分布的有效性：所有機率須為非負數，且總和等於 1。若機率總和不等於 1，模型即不完整或存在矛盾，此時計算所得的期望值在數學上雖仍可求出，但不能代表合法隨機變數的真正期望值。

相關計算請參考： 二項式機率計算（二項分布機率計算機）、變異數與標準差計算（變異數與標準差計算機）

常見問題（FAQ）

期望值是什麼？

期望值（E[X]）是離散隨機變數所有可能結果的機率加權平均數。以一個賽局為例：贏得 10 元的機率為 0.5，損失 5 元的機率為 0.5，則期望值為 10 × 0.5 + (−5) × 0.5 = 2.5 元。根據大數法則，隨著試驗次數增加，樣本平均值會逐漸收斂至此期望值。期望值是風險分析、保險定價與決策理論的核心概念。

期望值為正就應該採取行動嗎？

期望值為正是考慮行動的必要條件，但並非充分條件。變異數同樣重要：若某方案的期望值為正，但存在低機率的極端虧損，最終損失可能遠超預期收益。效用理論（尤其是財富的邊際效用遞減法則）說明了為何理性決策者在某些情況下會拒絕正期望值的選項。在實務上，當賭注相對於總資源較小、且該機會可多次重複時，正期望值才是採取行動的有力依據。

為什麼期望值無法預測短期結果？

期望值描述的是大量獨立試驗下的長期平均，而非單次試驗的結果。大數法則保證隨著試驗次數趨於無限，樣本均值會收斂至 E[X]，但在少數幾次試驗中，實際結果可能與期望值相差甚遠。例如，一枚正面得 10 元、反面得 0 元的硬幣，期望值為每次 5 元，但進行 10 次試擲，實際總得分可能介於 0 元至 100 元之間。標準差（σ）正是用來量化這種短期不確定性的指標。

機率總和不等於 1 時會發生什麼？

有效的離散機率分布要求所有機率皆非負，且總和恰好等於 1。若機率總和小於 1，表示模型不完整，部分結果或其發生可能性尚未納入；若超過 1，則模型本身存在矛盾。在這兩種情況下，期望值的算術計算結果在技術上仍可求得，但無法代表定義明確的隨機變數之真正期望值。當機率總和偏離 1 超過 0.001 時，本計算機會顯示警告。