最後更新：2026-05-18

二項分配的定義

二項分配用來模擬在固定次數的獨立試驗中，成功發生的次數。每次試驗的成功機率相同。擲硬幣 10 次計算正面次數、檢驗 100 件產品統計瑕疵品數量、或對 50 位選民進行民調——只要每次試驗只有兩種可能結果且各次試驗相互獨立，都可以用二項模型來描述。

公式

設試驗次數為 $n$、成功次數為 $k$、每次試驗的成功機率為 $p$：

組合數（從 $n$ 次試驗中選取 $k$ 次成功的方法數）：

$$C(n,k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

精確機率：

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

累積機率（至多 $k$ 次成功）：

$$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}$$

至少 $k$ 次成功：

$$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$$

期望值與標準差：

$$\mu = np \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}$$

計算範例：擲硬幣

擲一枚公正硬幣（$p = 0.5$）10 次，恰好出現 3 次正面的機率為何？

$$P(X = 3) = \binom{10}{3} \times 0.5^3 \times 0.5^7 = 120 \times \frac{1}{1024} \approx 0.117$$

約為 11.7%。3 次以下（含 3 次）正面的累積機率：

$$P(X \leq 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = \frac{1 + 10 + 45 + 120}{1024} = \frac{176}{1024} \approx 17.2\%$$

3 次以上（含 3 次）正面的機率：$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 56/1024 \approx 94.5\%$。

實務應用

品質管制： 某工廠生產螺栓的不良率為 2%。從 50 件中抽驗，出現超過 2 件不良品的機率為何？使用 $n = 50$、$p = 0.02$，計算 $P(X > 2) = 1 - P(X \leq 2)$。

臨床試驗： 某藥物的有效率為 70%。在 20 名受試者的試驗中，至少 15 名有效應答的機率為何？使用 $n = 20$、$p = 0.7$，計算 $P(X \geq 15)$。

民意調查： 某城市有 40% 的民眾支持某項政策，從中隨機抽取 12 位選民，恰好有 5 位表示支持的機率為何？

常態近似

當 $n$ 夠大時，二項分配的形狀接近鐘形曲線。當下列條件成立時，可以用 $X \approx N(\mu, \sigma^2)$ 進行近似：

$$np \geq 5 \quad \text{且} \quad n(1-p) \geq 5$$

應用連續性修正：$P(X = k) \approx P(k - 0.5 < Z < k + 0.5)$，其中 $Z$ 為標準常態分配。

當 $n = 10$、$p = 0.5$ 時：$np = 5$ 剛好在臨界值——此時近似較為粗糙。$n = 100$ 以上時，近似效果極佳。

常見問題（FAQ）

二項機率公式是什麼？

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1−p)^(n−k)，其中 C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) 代表從 n 次試驗中選出 k 次成功的組合數。以公平硬幣擲 10 次、恰好出現 3 次正面為例：P = C(10,3) × 0.5³ × 0.5⁷ = 120 × (1/1024) ≈ 0.1172（約 11.72%）。

累積二項機率如何計算？

P(X ≤ k) 是 P(X=0) + P(X=1) + … + P(X=k) 的總和。以擲幣 10 次、至多出現 3 次正面為例：P(X ≤ 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) ≈ 0.172。互補機率 P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k−1)，代表成功次數達到 k 次或以上的機率。

二項分布的期望值與標準差是多少？

期望值：μ = n × p；標準差：σ = √(np(1−p))。以 n = 10、p = 0.5 為例：μ = 5，σ = √2.5 ≈ 1.58。期望值代表平均成功次數，標準差則反映實際結果偏離期望值的程度。

何時可以用常態分布近似二項分布？

當 np ≥ 5 且 n(1−p) ≥ 5 時，常態近似的效果較為良好。此時 X ≈ Normal(μ, σ²)，μ = np，σ² = np(1−p)。搭配連續性修正可得：P(X = k) ≈ P(k−0.5 < Z < k+0.5)。以 n = 10、p = 0.5 而言，np = 5 剛好落在邊界；建議 n ≥ 30 時再採用此近似，精確度更為可靠。