最後更新：2026-06-04

等比數列是每相鄰兩項之比恆為定值的數列，該定值稱為公比（r），第一項稱為首項（a₁）。數列的一般形式為：

$$a_1,\quad a_1 r,\quad a_1 r^2,\quad a_1 r^3,\quad \ldots$$

例如 2、6、18、54、……（a₁ = 2，r = 3）即為等比數列。

第 n 項公式

等比數列的第 n 項為：

$$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$$

從首項 a₁ 出發，連乘公比 r 共 n−1 次即得。

範例。 a₁ = 3，r = 2，求第 5 項：

$$a_5 = 3 \times 2^{4} = 3 \times 16 = 48$$

前 n 項和

部分和 Sₙ 的推導採消去法：將 r·Sₙ 從 Sₙ 中相減，內部各項兩兩抵消，只剩頭尾：

$$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \qquad (r \neq 1)$$

r = 1 時所有項均等於 a₁，和為：

$$S_n = n \cdot a_1 \qquad (r = 1)$$

範例。 a₁ = 5，r = 3，求前 4 項之和：

$$S_4 = 5 \times \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 5 \times \frac{1 - 81}{-2} = 5 \times \frac{-80}{-2} = 200$$

驗算：5 + 15 + 45 + 135 = 200。

無窮級數和與收斂條件

當 |r| < 1，各項的絕對值逐漸縮小趨近於零，部分和收斂至有限值：

$$S_\infty = \frac{a_1}{1 - r} \qquad (|r| < 1)$$

此結果由令 n → ∞、rⁿ → 0 代入部分和公式推得。

各種情形的比較：

公比範圍	無窮級數行為
|r| < 1	收斂至 a₁ / (1 − r)
r = 1	發散（等於無窮個 a₁ 相加）
r = −1	振盪發散（各項在 ±a₁ 間交替）
|r| > 1	發散（項值趨於無窮大）

範例。 一顆球從 10 公尺高落下，每次反彈達前次高度的 60%（r = 0.6）。僅計算向上的路徑：首次反彈高度為 6 公尺，後續形成等比數列。無窮向上路程總和為：

$$S_\infty = \frac{6}{1 - 0.6} = \frac{6}{0.4} = 15 \text{ 公尺}$$

與複利計算的關係

複利是等比數列最常見的實際應用。本金 P 以年利率 i 每年複利計算，第 n 年末的餘額為：

$$A_n = P \cdot (1 + i)^n$$

這是首項 a₁ = P(1 + i)、公比 r = (1 + i) 的等比數列。若每年定期存入一筆金額（年金），則以部分和公式即可求出未來值。例如每月定期定額投入某金融商品，到期累積金額的試算便依賴相同的數學架構。

芝諾悖論的數學解答

古希臘哲學家芝諾的二分悖論設想：橫越一個房間，先走距離的一半，再走剩餘距離的一半，如此無窮反覆。總距離為：

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$$

此悖論的核心正是等比級數在 |r| < 1 時的收斂性：無窮多個步驟的距離之和仍是有限值。

與等差數列的比較

等差數列每步加一個固定公差（線性增長）；等比數列每步乘一個固定公比（指數增長）。以相同的前幾項為例：

• 2、5、8、11、……——等差數列（公差 d = 3）
• 2、6、18、54、……——等比數列（公比 r = 3）

兩者在臺灣高中數學均為必修內容，可搭配等差數列計算機一同使用。

常見問題（FAQ）

等比級數在什麼條件下會收斂？

當且僅當公比的絕對值嚴格小於 1（|r| < 1）時，無窮等比級數才收斂，其和為 S∞ = a₁ / (1 − r)。若 |r| ≥ 1，各項不趨近於零：r > 1 時級數無限增大；r = 1 時等於無窮個 a₁ 相加；r = −1 時各項在 a₁ 與 −a₁ 之間振盪，級數不收斂。

公比為負數時數列有何特性？

公比 r 為負數時，相鄰兩項正負交替，形成振盪數列。例如 a₁ = 4、r = −0.5，數列為 4、−2、1、−0.5、0.25、……。由於 |r| = 0.5 < 1，無窮級數仍然收斂：S∞ = 4 / (1 − (−0.5)) = 4 / 1.5 ≈ 2.667。

等比數列與指數增長有什麼關係？

等比數列是對整數位置取樣的指數函數：aₙ = a₁·rⁿ⁻¹。r > 1 時呈指數增長，常見於複利計算或族群增長；0 < r < 1 時呈指數衰減，例如放射性衰變或藥物代謝；r < 0 時則為振盪衰減。對應的連續型函數為 f(t) = a·eᵏᵗ。

公比可以是分數或小數嗎？

可以，公比 r 可為任意非零實數，包含分數與小數。r = 1/2 時每項減半（1、0.5、0.25、……）；r = 3/2 時每項增加 50%（1、1.5、2.25、3.375、……）。特殊值需注意：r = 0 時第二項起全為零，一般公式不適用；r = 1 時所有項均等於 a₁，無窮級數發散。