等差數列計算機

最後更新：2026-05-19

什麼是等差數列？

等差數列是一種每相鄰兩項之差恆為定值的數列，這個定值稱為公差（d），第一項稱為首項（a₁）。數列的形式如下：

$$a_1,\quad a_1 + d,\quad a_1 + 2d,\quad a_1 + 3d,\quad \ldots$$

例如 3, 7, 11, 15, …（a₁ = 3，d = 4）即為等差數列。本計算機可一次求出第 n 項（aₙ）、前 n 項和（Sₙ）及前 n 項平均值。

第 n 項公式

等差數列的第 n 項為：

$$a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$$

原理： 從 a₁ 到 aₙ 共走 n−1 步，每步加一次公差 d。

範例。 數列 5, 9, 13, 17, …（a₁ = 5，d = 4），第 20 項為：

$$a_{20} = 5 + (20 - 1) \times 4 = 5 + 76 = 81$$

求和公式與高斯配對法

前 n 項和公式為：

$$S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}$$

相傳高斯在小學時就用配對法計算出 1 加到 100 的和：

$$1 + 100 = 101,\quad 2 + 99 = 101,\quad 3 + 98 = 101,\quad \ldots$$

共有 50 組，每組和為 101，因此總和為 50 × 101 = 5,050。一般情形下，n/2 組的和均為 a₁ + aₙ，得到 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。

若不需要先求 aₙ，可展開代入：

$$S_n = \frac{n \cdot (2a_1 + (n-1)d)}{2}$$

平均值

前 n 項的平均值等於首項與第 n 項的算術平均：

$$\bar{a} = \frac{S_n}{n} = \frac{a_1 + a_n}{2}$$

這正是等差數列均勻分布特性的體現——各項對稱地分布在此中間值兩側。

與一次函數的關係

等差數列是離散形式的一次函數。以項次 n 為橫軸、項值 aₙ 為縱軸作圖，所有點恰好落在一條直線上：

$$a_n = d \cdot n + (a_1 - d)$$

公差 d 對應斜率，(a₁ − d) 對應截距。臺灣高中數學將等差數列與一次函數並列講授，兩者在結構上等價。

特殊情形

條件	結果
d = 0	常數數列；Sₙ = n·a₁
d < 0	遞減數列
d 為分數	完全有效；項值為均勻分布的小數
n = 1	aₙ = a₁；S₁ = a₁；平均 = a₁

實際應用範例

某公司員工月薪第一個月為 3 萬元，此後每月調漲 2,000 元（a₁ = 30,000，d = 2,000，單位：元）。第 12 個月月薪及一年累計薪資分別為多少？

• a₁ = 30,000 元，d = 2,000 元，n = 12
• a₁₂ = 30,000 + 11 × 2,000 = 30,000 + 22,000 = 52,000 元
• S₁₂ = 12 × (30,000 + 52,000) ÷ 2 = 12 × 41,000 = 492,000 元
• 月平均薪資：41,000 元

常見問題（FAQ）

如何求等差數列的第 n 項？

使用公式 aₙ = a₁ + (n − 1)·d，其中 a₁ 為首項，d 為公差，n 為項次。例如：首項 2、公差 3 的數列（2, 5, 8, 11, …）第 10 項為 2 + 9×3 = 29。

等差數列的求和公式是什麼？

前 n 項和為 Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2。這個公式源自高斯的配對技巧：將首項與末項相加恆為 a₁ + aₙ，共有 n/2 組這樣的配對。也可改寫為 Sₙ = n·(2a₁ + (n−1)d)/2，不需先求 aₙ。

等差數列和等比數列有什麼不同？

等差數列每一步加上固定的公差 d（線性增長）；等比數列每一步乘以固定的公比 r（指數增長）。例：2, 5, 8, 11 是等差數列（d = 3）；2, 6, 18, 54 是等比數列（r = 3）。

公差可以是負數或分數嗎？

可以，d 可為任意實數。公差為負時數列遞減（例：10, 7, 4, 1, −2, …）；公差為分數或小數同樣有效（例：d = 0.5 得 1, 1.5, 2, 2.5, …）。d = 0 時所有項相等，Sₙ = n·a₁。