최종 업데이트: 2026-06-06

다항식과 점에서의 함수값

다항식 P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀는 임의의 실수 x에 대해 하나의 값을 대응시키는 함수입니다. 특정 점 x₀에서의 함수값 P(x₀)를 구하는 작업은 수치해석, 컴퓨터 그래픽, 제어 이론 등 다양한 분야의 기초를 이룹니다.

단순히 각 항의 거듭제곱을 따로 계산한 뒤 더하는 방식(직접 계산)은 n차 다항식에 O(n²)번의 곱셈을 요구합니다. 호너의 방법(Horner's method)은 동일한 다항식을 중첩된 곱의 형태로 재구성하여 정확히 n번의 곱셈과 n번의 덧셈만으로 계산을 완료합니다.

$P(x) = (\cdots((a_n \cdot x + a_{n-1}) \cdot x + a_{n-2}) \cdot x + \cdots + a_1) \cdot x + a_0$

이 알고리즘은 현대 수치 계산 라이브러리와 컴퓨터 대수 시스템이 내부적으로 채택하는 표준 방식입니다.

이 계산기에는 최고차항부터 상수항까지의 계수를 쉼표로 구분하여 입력하고(예: 1, -3, 2, 5는 x³ - 3x² + 2x + 5를 의미), 계산점 x를 지정하면 차수, 표준형 다항식, P(x) 값, 그리고 계산점을 중심으로 한 곡선 그래프를 제공합니다.

호너의 방법 단계별 계산

알고리즘은 최고차항의 계수 aₙ을 초기 누산값 r로 설정하고, 이후 각 계수에 대해 곱셈과 덧셈을 반복합니다.

$r \leftarrow r \cdot x + a_{n-k} \quad (k = 1, 2, \ldots, n)$

n단계가 끝나면 누산값 r이 P(x)가 됩니다.

예제: P(x) = x³ - 3x² + 2x + 5, x = 2 (계수: 1, -3, 2, 5)

단계	연산	누산값
초기값	r = 1	1
k = 1	r = 1 × 2 + (-3) = -1	-1
k = 2	r = -1 × 2 + 2 = 0	0
k = 3	r = 0 × 2 + 5 = 5	5

따라서 P(2) = 5입니다. 직접 계산(8 - 12 + 4 + 5 = 5)과 일치합니다.

직접 계산과의 연산 횟수 비교

직접 계산 방식은 x², x³, …를 각각 따로 구해야 합니다. x² = x · x, x³ = x² · x와 같이 진행하면 n차 다항식에 최대 n(n+1)/2번의 곱셈이 필요합니다. 호너의 방법은 중간 결과를 재사용하여 곱셈 횟수를 정확히 n번으로 줄이며, 이론적으로 이보다 적은 곱셈으로 다항식을 평가하는 알고리즘은 존재하지 않습니다.

차수	직접 계산(곱셈 횟수)	호너의 방법(곱셈 횟수)
2	3	2
5	15	5
10	55	10
20	210	20

연산 횟수의 차이는 수치적 안정성과도 연결됩니다. 직접 계산에서는 x의 거듭제곱이 커질수록 중간값이 크게 증가하여 계수 크기 차이가 클 때 소거 오차(catastrophic cancellation)가 발생할 수 있습니다. 호너의 방법은 이러한 큰 중간값을 피할 수 있어 수치적으로 더 안정적입니다.

계수 입력 방법

최고차항의 계수부터 상수항까지 차례로 쉼표로 구분하여 입력합니다. 해당 차수의 항이 없더라도 반드시 0을 포함해야 합니다. 0을 생략하면 나머지 계수가 모두 한 차수씩 틀어집니다.

다항식	계수 입력
x³ - 3x² + 2x + 5	1, -3, 2, 5
2x² + 3x - 1	2, 3, -1
x⁴ - 1	1, 0, 0, 0, -1
-3x + 7	-3, 7
4 (상수)	4

차수는 입력한 계수의 개수에서 1을 뺀 값입니다. 계수가 하나이면 0차(상수) 다항식입니다.

활용 분야

다항식 함수값 계산은 다음 분야에서 핵심 연산으로 활용됩니다.

• 컴퓨터 그래픽. 베지에 곡선(Bézier curve)과 스플라인은 매개변수화된 다항식으로 표현되며, 3차 베지에 곡선을 렌더링하려면 한 프레임에만 수백 번의 다항식 계산이 필요합니다.
• 신호 처리. 유한 임펄스 응답(FIR) 필터는 Z 변환 영역에서 다항식 곱셈으로 구현되며, 각 표본에서 다항식 계산을 수행합니다.
• 방정식의 해. 뉴턴-랩슨 방법으로 P(x) = 0의 근을 구할 때 각 반복 단계에서 P(x₀)와 P'(x₀) 모두가 필요합니다. 호너의 방법 한 번으로 두 값을 동시에 얻을 수 있습니다.
• 제어 이론. 라플라스 변환(s-영역)이나 Z 변환(z-영역)의 전달 함수는 유리 다항식으로 표현되며, 안정성 분석을 위해 특성 방정식의 허수축 위 값을 계산합니다.
• 해시 함수 및 오류 검출. 순환 중복 검사(CRC)는 이진 다항식을 생성 다항식으로 나누는 호너 루프를 GF(2) 위에서 수행합니다.

조립제법(합성나눗셈)과의 관계

호너의 방법은 조립제법(합성나눗셈)과 대수적으로 동치입니다. 조립제법은 P(x)를 일차식 (x - c)로 나눌 때 사용하는 단축 알고리즘으로, 다음 항등식을 이용합니다.

$P(x) = (x - c)\,Q(x) + P(c)$

여기서 나머지 P(c)는 호너의 방법으로 구한 함수값과 동일하고, 몫 Q(x)의 계수는 알고리즘이 진행되는 동안 자동으로 결정됩니다. Q(c)를 추가로 계산하면 P'(c)를 얻을 수 있으며, 이것이 뉴턴-랩슨 반복법의 이론적 근거가 됩니다.

관련 계산기

P(x)와 P'(x)를 함께 구하려면 특정 점에서의 미분 계산기를 이용하십시오. 다항식을 구간에서 적분하려면 다항식 정적분 계산기을 참조하십시오. P(x) = 0의 근을 구할 때는 이차방정식 풀이기(2차) 또는 삼차방정식 풀이기(3차)를 활용하십시오.

자주 묻는 질문 (FAQ)

호너의 방법이란 무엇입니까?

호너의 방법(Horner's method, 호너의 알고리즘)은 다항식 P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀를 중첩된 곱의 형태 P(x) = (…((aₙ · x + aₙ₋₁) · x + aₙ₋₂) · x + … + a₁) · x + a₀로 재구성하는 알고리즘입니다. 각 단계에서 누산값에 x를 곱한 뒤 다음 계수를 더하는 방식으로, n차 다항식을 정확히 n회의 곱셈과 n회의 덧셈으로 계산합니다. 이는 이론상 최소 연산 횟수입니다.

호너의 방법이 직접 계산보다 효율적인 이유는 무엇입니까?

직접 계산 방식에서는 x², x³, …를 각각 별도로 계산해야 하므로 n차 다항식에 최대 n(n+1)/2회의 곱셈이 필요합니다. 호너의 방법은 중간 결과를 재사용하여 곱셈 횟수를 정확히 n회로 줄입니다. 예를 들어 20차 다항식의 경우, 직접 계산은 최대 210회의 곱셈이 필요하지만 호너의 방법은 20회면 충분합니다. 또한 중간 계산에서 발생하는 큰 값을 피할 수 있어 수치적 안정성도 우수합니다.

호너의 방법으로 미분값도 구할 수 있습니까?

예. 조립제법(합성나눗셈)은 호너의 방법과 동일한 알고리즘으로, P(x)를 일차식 (x - c)로 나눌 때의 몫과 나머지를 동시에 구합니다. 나머지는 P(c)이고, 몫 다항식 Q(x)는 항등식 P(x) = (x - c)Q(x) + P(c)를 만족하며, Q(c) = P'(c)가 성립합니다. 따라서 호너의 방법을 한 번만 실행하면 P(c)와 P'(c)를 동시에 얻을 수 있습니다.

계수를 어떻게 입력해야 합니까?

최고차항의 계수부터 상수항까지 차례로 쉼표로 구분하여 입력합니다. 해당 차수의 항이 없더라도 0을 반드시 포함해야 합니다. 예시: x³ - 3x² + 2x + 5는 "1, -3, 2, 5", 2x⁴ - 7은 "2, 0, 0, 0, -7", 상수 4는 "4". 차수는 입력한 값의 개수에서 1을 뺀 값과 같습니다.