Gerado em: 13 de junho de 2026 às 18:02

Calculadora de Valor Esperado

Entradas

Resultados10, -5, 20
Probabilidades0.5, 0.3, 0.2

Resultados

Soma das probabilidades1
Número de resultados3

Visualização

Probabilidade 0

Gerado com OneCalc · https://onecalc.app/pt-BR/math/discrete-expected-value

Matemática

Calculadora de Valor Esperado

Calcule o valor esperado E[X], variância e desvio padrão de uma distribuição de probabilidade discreta a partir de resultados e probabilidades separados por vírgula.

Entradas

Resultados e Probabilidades

Resultados

Detalhes

Fórmulas

\begin{aligned} E[X] &= \sum_{i} p_i \cdot x_i \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma^2 &= \sum_{i} p_i \cdot (x_i - E[X])^2 \\ &= ? \end{aligned}
\begin{aligned} \sigma &= \sqrt{\sigma^2} \\ &= \sqrt{?} \\ &= ? \end{aligned}

Distribuição de Probabilidade

Probabilidade 0

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Definição

O valor esperado de uma variável aleatória discreta — também chamado de esperança matemática e denotado E[X] ou μ — é a média ponderada de todos os seus possíveis resultados, em que cada resultado é ponderado pela respectiva probabilidade. Formalmente, para uma variável aleatória com resultados x₁, x₂, …, xₙ e probabilidades p₁, p₂, …, pₙ:

E[X]=∑ipi⋅xiE[X] = \sum_{i} p_i \cdot x_i

O valor esperado não é necessariamente um resultado que ocorre de fato — ele representa o que se obteria, em média, após um número muito grande de ensaios independentes.

Fórmula e exemplo numérico

Considere uma aposta com três possibilidades:

ResultadoProbabilidade
+100,50
−50,30
+200,20

Valor esperado:

E[X]=10×0,50+(−5)×0,30+20×0,20=5,00−1,50+4,00=7,50E[X] = 10 \times 0{,}50 + (-5) \times 0{,}30 + 20 \times 0{,}20 = 5{,}00 - 1{,}50 + 4{,}00 = 7{,}50

Apesar de o resultado mais provável (10, com 50% de chance) ser inferior ao valor esperado, a contribuição do resultado +20 eleva a média ponderada para 7,50. Ao longo de muitas repetições, a média dos resultados converge para esse valor.

Variância — a dispersão em torno de E[X], expressa em unidades ao quadrado:

σ2=∑ipi⋅(xi−E[X])2\sigma^2 = \sum_{i} p_i \cdot (x_i - E[X])^2

Para o exemplo acima:

σ2=0,50×(10−7,5)2+0,30×(−5−7,5)2+0,20×(20−7,5)2\sigma^2 = 0{,}50 \times (10 - 7{,}5)^2 + 0{,}30 \times (-5 - 7{,}5)^2 + 0{,}20 \times (20 - 7{,}5)^2 =0,50×6,25+0,30×156,25+0,20×156,25=3,125+46,875+31,250=81,25= 0{,}50 \times 6{,}25 + 0{,}30 \times 156{,}25 + 0{,}20 \times 156{,}25 = 3{,}125 + 46{,}875 + 31{,}250 = 81{,}25

Desvio padrão (σ = √81,25 ≈ 9,01) restaura as unidades originais e representa um afastamento típico em relação a E[X] em um único ensaio.

Por que a variância complementa o valor esperado

Duas distribuições podem ter o mesmo valor esperado com perfis de risco completamente distintos. Um título de renda fixa que paga R100comcerteza(E[X]=100,σ=0)eumaapostaquepagaR 100 com certeza (E[X] = 100, σ = 0) e uma aposta que paga R 200 com probabilidade 0,5 e nada caso contrário (E[X] = 100, σ = 100) são matematicamente equivalentes em expectativa, mas radicalmente diferentes em termos de variabilidade. A análise de risco em finanças, seguros e teoria dos jogos exige considerar ambas as grandezas.

Jogo justo

Um jogo justo é aquele em que E[X] = 0: o ganho esperado é nulo. Nessa condição, nenhuma das partes tem vantagem sistemática no longo prazo — o resultado é apenas incerteza. A maioria dos jogos de azar é deliberadamente projetada de modo que E[X] < 0 para o apostador, assegurando margem positiva para o operador. Com esta calculadora é possível verificar diretamente se uma estrutura de pagamentos é justa, favorável ou desfavorável antes de comprometer-se com repetições.

Lei dos grandes números

A lei dos grandes números afirma que, para variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com valor esperado finito, a média amostral converge para E[X] à medida que o número de ensaios cresce. Esse princípio fundamenta o cálculo atuarial de prêmios de seguro, os modelos de precificação em mercados financeiros e qualquer planejamento de longo prazo baseado na média de eventos repetidos.

É importante notar que a lei não diz nada sobre sequências curtas de ensaios. Uma aposta com E[X] = +5 pode produzir uma sequência de resultados negativos ao longo de dezenas de rodadas. O desvio padrão quantifica exatamente essa incerteza de curto prazo: aproximadamente 68% dos resultados individuais caem a menos de um σ de E[X], e cerca de 95% dentro de dois σ.

Como utilizar esta calculadora

Informe os resultados e as probabilidades como listas separadas por vírgula, na mesma ordem. As quantidades devem coincidir. As probabilidades devem ser não negativas e somar 1; a calculadora emite um aviso caso a soma desvie de 1 em mais de 0,001. Os resultados podem ser quaisquer números reais, inclusive negativos.

O gráfico de distribuição exibe a probabilidade de cada resultado como uma barra, permitindo visualizar de imediato onde a massa de probabilidade está concentrada.

Perguntas frequentes (FAQ)

O que é valor esperado?

O valor esperado E[X] é a média ponderada de todos os resultados possíveis de uma variável aleatória, em que cada resultado é ponderado pela sua probabilidade. Considere um jogo que paga R$ 10 com probabilidade 0,5 e cobra R$ 5 com probabilidade 0,5: E[X] = 10 × 0,5 + (−5) × 0,5 = R$ 2,50. Após muitas repetições independentes, a média dos resultados converge para esse valor. O conceito é a base da análise de risco, do cálculo de prêmios de seguro e da teoria dos jogos.

Vale sempre aceitar uma aposta com valor esperado positivo?

Valor esperado positivo é uma condição necessária, mas não suficiente, para aceitar uma oportunidade. A variância também importa: uma aposta com E[X] = R$ 1, mas com 10% de chance de perda do patrimônio líquido inteiro, apresenta uma cauda de perda catastrófica mesmo com expectativa favorável. A teoria da utilidade explica por que agentes racionais podem recusar apostas com VE positivo quando o risco de ruína é significativo em relação ao patrimônio total. Na prática, VE positivo é um sinal forte de ação quando os valores em jogo são pequenos em relação aos recursos disponíveis e a oportunidade pode ser repetida muitas vezes.

Por que o valor esperado não prevê resultados individuais?

O valor esperado descreve a média de longo prazo ao longo de muitos ensaios independentes, não o resultado de um único evento. A lei dos grandes números garante que a média amostral converge para E[X] à medida que o número de ensaios cresce — mas em poucos ensaios os resultados reais podem diferir substancialmente. Uma moeda justa que paga R$ 10 na cara e R$ 0 na coroa tem E[X] = R$ 5 por lançamento, mas em 10 lançamentos o total pode variar entre R$ 0 e R$ 100. O desvio padrão σ quantifica essa incerteza de curto prazo.

O que acontece se as probabilidades não somam 1?

Uma distribuição de probabilidade discreta válida exige que todas as probabilidades sejam não negativas e somem exatamente 1. Se a soma for inferior a 1, a distribuição está incompleta — há resultados ou probabilidades não contabilizados. Se a soma exceder 1, a distribuição é inconsistente. Em ambos os casos o cálculo aritmético ainda é realizado, mas o resultado não representa o valor esperado de uma variável aleatória bem definida. Esta calculadora emite um aviso quando a soma se desvia de 1 em mais de 0,001.

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