Última atualização: 2026-06-04

O que é potenciação?

A potenciação é uma operação que expressa a multiplicação repetida de um número por ele mesmo. A expressão $b^n$ significa que a base $b$ é multiplicada por si mesma $n$ vezes:

O número $b$ é a base e $n$ é o expoente (também chamado de potência ou índice). Por exemplo, $2^{10} = 1024$, pois 2 é multiplicado por si mesmo 10 vezes.

Propriedades das potências

As seis propriedades a seguir governam o comportamento dos expoentes nas operações aritméticas. Cada uma decorre diretamente da definição de multiplicação repetida.

Produto de potências de mesma base — somam-se os expoentes: $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$

Quociente de potências de mesma base — subtraem-se os expoentes: $\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n} \quad (b \neq 0)$

Potência de uma potência — multiplicam-se os expoentes: $(b^m)^n = b^{mn}$

Potência de um produto — o expoente se distribui: $(ab)^n = a^n \cdot b^n$

Expoente zero — qualquer base não nula elevada a zero é igual a 1: $b^0 = 1 \quad (b \neq 0)$

Expoente negativo — indica o recíproco: $b^{-n} = \frac{1}{b^n} \quad (b \neq 0)$

Expoentes negativos

Um expoente negativo indica o recíproco do valor. Por exemplo:

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125$

Esse resultado decorre da regra do quociente: $b^0 / b^n = 1 / b^n = b^{-n}$. Expoentes negativos aparecem na notação científica de números muito pequenos ($10^{-9}$ corresponde a 1 nanômetro) e em análise dimensional ($\text{m s}^{-1}$ para velocidade).

Expoentes fracionários e radiciação

Um expoente fracionário representa uma raiz. A regra geral é:

$b^{m/n} = \sqrt[n]{b^m} = \left(\sqrt[n]{b}\right)^m$

Casos frequentes:

Para que o resultado seja real, a base deve ser não negativa — ou o expoente fracionário deve ter denominador ímpar quando a base é negativa. Raízes de números negativos com denominador par são números complexos e estão fora do escopo da aritmética padrão.

O recíproco

O recíproco de $b^n$ é $b^{-n} = 1/b^n$. Ele satisfaz a relação $b^n \cdot b^{-n} = b^0 = 1$. O recíproco é indefinido quando $b^n = 0$, ou seja, quando $b = 0$ e $n > 0$.

A convenção de 0⁰

Quando $b = 0$ e $n = 0$, a expressão $0^0$ é uma forma indeterminada na análise matemática (pois $0^x \to 0$ e $x^0 \to 1$ por caminhos distintos). Na matemática discreta, na combinatória e na programação, $0^0$ é universalmente definido como 1. Essa escolha preserva a consistência de identidades combinatórias (como o teorema binomial e as séries de potências) nos casos-limite. Esta calculadora adota a convenção $0^0 = 1$.

Exemplo resolvido

Dados: base $b = 3$, expoente $n = 4$

$b^n = 3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$

Recíproco:

$b^{-n} = 3^{-4} = \frac{1}{81} \approx 0{,}012346$

Verificação usando a regra do produto:

$3^4 \cdot 3^{-4} = 3^{4 + (-4)} = 3^0 = 1 \checkmark$

Aplicações